一元配置分散分析の基本計算（F統計量） - 実験計画法問題1/20

一元配置分散分析の基本計算（F統計量）レベル2

3つの異なる肥料A、B、Cを使って小麦の収量を測定した。各肥料について4回ずつ測定した結果が以下の通りである。\n\n肥料A: 45, 48, 46, 51 (kg)\n肥料B: 52, 49, 55, 54 (kg)\n肥料C: 42, 44, 40, 46 (kg)\n\n一元配置分散分析を行い、F統計量を計算せよ。小数第2位まで求めよ（小数第3位を四捨五入すること）。

解説

一元配置分散分析によるF統計量の計算

実験計画法の基礎となる一元配置分散分析では、複数のグループ間で平均値に差があるかどうかを検定します。この問題では3種類の肥料による収量の差を統計的に評価します。

分散分析の基本概念

分散分析（ANOVA: Analysis of Variance）は、群間変動と群内変動を比較することで、群間に有意な差があるかを判定する手法です。

Step 1: データの整理と基本統計量

肥料	観測値	平均	観測数
A	45, 48, 46, 51	47.5	4
B	52, 49, 55, 54	52.5	4
C	42, 44, 40, 46	43.0	4

各グループの平均：

$$\bar{x}_A = \frac{45+48+46+51}{4} = 47.5$$

$$\bar{x}_B = \frac{52+49+55+54}{4} = 52.5$$

$$\bar{x}_C = \frac{42+44+40+46}{4} = 43.0$$

全体平均：

$$\bar{x} = \frac{47.5 + 52.5 + 43.0}{3} = 47.67$$

Step 2: 群間変動（Between Groups）の計算

群間平方和（SSB: Sum of Squares Between）：

$$SSB = \sum_{i=1}^{k} n_i(\bar{x}_i - \bar{x})^2$$

$$SSB = 4 \times (47.5-47.67)^2 + 4 \times (52.5-47.67)^2 + 4 \times (43.0-47.67)^2$$

$$SSB = 4 \times 0.0289 + 4 \times 23.3289 + 4 \times 21.8089$$

$$SSB = 0.1156 + 93.3156 + 87.2356 = 180.67$$

群間自由度：$df_B = k - 1 = 3 - 1 = 2$

群間平均平方：$MSB = \frac{SSB}{df_B} = \frac{180.67}{2} = 90.34$

Step 3: 群内変動（Within Groups）の計算

各群内での平方和：

$$SS_{A} = (45-47.5)^2 + (48-47.5)^2 + (46-47.5)^2 + (51-47.5)^2$$

$$SS_{A} = 6.25 + 0.25 + 2.25 + 12.25 = 21$$

$$SS_{B} = (52-52.5)^2 + (49-52.5)^2 + (55-52.5)^2 + (54-52.5)^2$$

$$SS_{B} = 0.25 + 12.25 + 6.25 + 2.25 = 21$$

$$SS_{C} = (42-43)^2 + (44-43)^2 + (40-43)^2 + (46-43)^2$$

$$SS_{C} = 1 + 1 + 9 + 9 = 20$$

群内平方和（SSW: Sum of Squares Within）：

$$SSW = SS_A + SS_B + SS_C = 21 + 21 + 20 = 62$$

群内自由度：$df_W = N - k = 12 - 3 = 9$

群内平均平方：$MSW = \frac{SSW}{df_W} = \frac{62}{9} = 6.89$

Step 4: F統計量の計算

$$F = \frac{MSB}{MSW} = \frac{90.34}{6.89} = 13.11$$

小数第2位まで：13.11

分散分析表の作成

変動要因	平方和	自由度	平均平方	F値
群間	180.67	2	90.34	13.11
群内	62.00	9	6.89	-
全体	242.67	11	-	-

Step 5: 結果の解釈

F統計量：13.11
自由度：(2, 9)
臨界値：F(2,9,0.05) ≈ 4.26
判定：F = 13.11 > 4.26 なので、有意水準5%で帰無仮説を棄却

実験計画法における重要な考慮点

ランダム化：実験順序をランダムに決定
反復：各処理を複数回実施
局所管理：実験環境の均質化
効果の分離：処理効果と誤差の分離

実際の農業実験での応用

この結果は、3つの肥料間で収量に統計的に有意な差があることを示しています：

肥料B：最も高い平均収量（52.5kg）
肥料A：中程度の平均収量（47.5kg）
肥料C：最も低い平均収量（43.0kg）

ただし、どの肥料間に具体的な差があるかは、多重比較検定（Tukey's HSD、Bonferroni法など）で詳細に検討する必要があります。