一元配置分散分析によるF統計量の計算
実験計画法の基礎となる一元配置分散分析では、複数のグループ間で平均値に差があるかどうかを検定します。この問題では3種類の肥料による収量の差を統計的に評価します。
分散分析の基本概念
分散分析（ANOVA: Analysis of Variance）は、群間変動と群内変動を比較することで、群間に有意な差があるかを判定する手法です。
Step 1: データの整理と基本統計量
| 肥料 | 観測値 | 平均 | 観測数 |
|---|
| A | 45, 48, 46, 51 | 47.5 | 4 |
| B | 52, 49, 55, 54 | 52.5 | 4 |
| C | 42, 44, 40, 46 | 43.0 | 4 |
各グループの平均：
$$\bar{x}_A = \frac{45+48+46+51}{4} = 47.5$$
$$\bar{x}_B = \frac{52+49+55+54}{4} = 52.5$$
$$\bar{x}_C = \frac{42+44+40+46}{4} = 43.0$$
全体平均：
$$\bar{x} = \frac{47.5 + 52.5 + 43.0}{3} = 47.67$$
Step 2: 群間変動（Between Groups）の計算
群間平方和（SSB: Sum of Squares Between）：
$$SSB = \sum_{i=1}^{k} n_i(\bar{x}_i - \bar{x})^2$$
$$SSB = 4 \times (47.5-47.67)^2 + 4 \times (52.5-47.67)^2 + 4 \times (43.0-47.67)^2$$
$$SSB = 4 \times 0.0289 + 4 \times 23.3289 + 4 \times 21.8089$$
$$SSB = 0.1156 + 93.3156 + 87.2356 = 180.67$$
群間自由度：$df_B = k - 1 = 3 - 1 = 2$
群間平均平方：$MSB = \frac{SSB}{df_B} = \frac{180.67}{2} = 90.34$
Step 3: 群内変動（Within Groups）の計算
各群内での平方和：
$$SS_{A} = (45-47.5)^2 + (48-47.5)^2 + (46-47.5)^2 + (51-47.5)^2$$
$$SS_{A} = 6.25 + 0.25 + 2.25 + 12.25 = 21$$
$$SS_{B} = (52-52.5)^2 + (49-52.5)^2 + (55-52.5)^2 + (54-52.5)^2$$
$$SS_{B} = 0.25 + 12.25 + 6.25 + 2.25 = 21$$
$$SS_{C} = (42-43)^2 + (44-43)^2 + (40-43)^2 + (46-43)^2$$
$$SS_{C} = 1 + 1 + 9 + 9 = 20$$
群内平方和（SSW: Sum of Squares Within）：
$$SSW = SS_A + SS_B + SS_C = 21 + 21 + 20 = 62$$
群内自由度：$df_W = N - k = 12 - 3 = 9$
群内平均平方：$MSW = \frac{SSW}{df_W} = \frac{62}{9} = 6.89$
Step 4: F統計量の計算
$$F = \frac{MSB}{MSW} = \frac{90.34}{6.89} = 13.11$$
小数第2位まで：13.11
分散分析表の作成
| 変動要因 | 平方和 | 自由度 | 平均平方 | F値 |
|---|
| 群間 | 180.67 | 2 | 90.34 | 13.11 |
| 群内 | 62.00 | 9 | 6.89 | - |
| 全体 | 242.67 | 11 | - | - |
Step 5: 結果の解釈
- F統計量：13.11
- 自由度：(2, 9)
- 臨界値：F(2,9,0.05) ≈ 4.26
- 判定：F = 13.11 > 4.26 なので、有意水準5%で帰無仮説を棄却
実験計画法における重要な考慮点
- ランダム化：実験順序をランダムに決定
- 反復：各処理を複数回実施
- 局所管理：実験環境の均質化
- 効果の分離：処理効果と誤差の分離
実際の農業実験での応用
この結果は、3つの肥料間で収量に統計的に有意な差があることを示しています：
- 肥料B：最も高い平均収量（52.5kg）
- 肥料A：中程度の平均収量（47.5kg）
- 肥料C：最も低い平均収量（43.0kg）
ただし、どの肥料間に具体的な差があるかは、多重比較検定（Tukey's HSD、Bonferroni法など）で詳細に検討する必要があります。