実験計画法

二元配置分散分析（交互作用なし）の理論と実践

二元配置分散分析は、2つの要因が従属変数に与える影響を同時に評価できる強力な統計手法です。本問題では農業実験の典型例を通じて、その計算と解釈を学びます。

Step 1: 実験計画の構造理解

本実験は4×3要因計画で、以下の特徴があります：

ここで：

• $Y_{ij}$：品種$i$、地域$j$での収量観測値
• $\mu$：全体平均
• $\alpha_i$：品種$i$の主効果（$i = 1,2,3,4$）
• $\beta_j$：地域$j$の主効果（$j = 1,2,3$）
• $\epsilon_{ij}$：誤差項（$\sim N(0, \sigma^2)$）

Step 2: データ構造の詳細分析

Step 3: 平方和の理論的分解

二元配置分散分析では、全変動を以下のように分解します：

各平方和の意味：

• $SS_{total}$：全観測値の総変動
• $SS_{品種}$：品種間の変動（品種の主効果）
• $SS_{地域}$：地域間の変動（地域の主効果）
• $SS_{error}$：説明できない残差変動

Step 4: 自由度の体系的計算

各変動源の自由度を理論的に求めます：

確認：$df_{total} = df_{品種} + df_{地域} + df_{error} = 3 + 2 + 6 = 11$ ✓

Step 5: 平均平方と期待値の理論

各平均平方の計算と期待値：

期待平均平方：

• $E[MS_{error}] = \sigma^2$（誤差分散）
• $E[MS_{品種}] = \sigma^2 + b\frac{\sum \alpha_i^2}{a-1}$（品種効果がある場合）
• $E[MS_{地域}] = \sigma^2 + a\frac{\sum \beta_j^2}{b-1}$（地域効果がある場合）

Step 6: F統計量の計算と分布理論

帰無仮説$H_0: \alpha_1 = \alpha_2 = \alpha_3 = \alpha_4 = 0$の下で：

臨界値との比較：

• $F_{0.05}(3,6) = 4.76$
• $F_{0.01}(3,6) = 9.78$
• 観測値：$F = 20.00 > 9.78$
• 結論：1%水準で品種間に有意差あり

Step 7: 効果量の計算と実践的意義

効果量（η²）の計算：

これは品種要因が全変動の80%を説明することを示します。

実践的解釈：

• 大きな効果：η² = 0.80は非常に大きな効果サイズ
• 農業的意義：品種選択が収量に決定的影響
• 経済的価値：品種Dは品種Cより12kg/ha多い収量

Step 8: 多重比較と事後分析

有意なF検定の後は、具体的にどの品種間に差があるかを調べます：

Tukey HSD法による対比較：

品種間差の検定：

• |D - C| = 12.0 > 6.93 → 有意
• |D - A| = 9.0 > 6.93 → 有意
• |B - C| = 7.0 > 6.93 → 有意
• その他の組み合わせも同様に検定

Step 9: 結果の報告と解釈

統計的結論：

二元配置分散分析の結果、品種の主効果は統計的に有意であった（F(3,6) = 20.00, p < 0.01, η² = 0.80）。地域効果も有意であった（F(2,6) = 4.50, p < 0.05）。

実用的推奨：

• 品種選択：収量最大化には品種Dを推奨
• 地域対応：全品種で地域3での栽培が有利
• 品種改良：品種Cの改良余地が大きい

Step 10: 関連統計手法との比較