直交配列による効率的な要因実験
直交配列は、多数の要因を少ない実験回数で効率的に評価する実験計画法です。L8配列では3つの要因をそれぞれ2水準で8回の実験により分析できます。
直交配列の利点
効率性:完全実施計画では2³=8回必要ですが、L8配列でも同じ情報を得られます。各要因の主効果を直交性により独立に推定できます。
Step 1: データの整理
| 実験番号 | 要因A | 要因B | 要因C | 応答値 |
|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 18 |
| 2 | 1 | 1 | 2 | 22 |
| 3 | 1 | 2 | 1 | 20 |
| 4 | 1 | 2 | 2 | 24 |
| 5 | 2 | 1 | 1 | 16 |
| 6 | 2 | 1 | 2 | 18 |
| 7 | 2 | 2 | 1 | 14 |
| 8 | 2 | 2 | 2 | 16 |
Step 2: 要因Aの水準別データの分離
A=1の場合(水準1):
- 実験1: 応答値 = 18
- 実験2: 応答値 = 22
- 実験3: 応答値 = 20
- 実験4: 応答値 = 24
A=1の平均:$\bar{y}_{A1} = \frac{18 + 22 + 20 + 24}{4} = \frac{84}{4} = 21.0$
A=2の場合(水準2):
- 実験5: 応答値 = 16
- 実験6: 応答値 = 18
- 実験7: 応答値 = 14
- 実験8: 応答値 = 16
A=2の平均:$\bar{y}_{A2} = \frac{16 + 18 + 14 + 16}{4} = \frac{64}{4} = 16.0$
Step 3: 要因Aの主効果の計算
主効果は2つの水準の平均の差として定義されます:
$$\text{主効果}_A = \bar{y}_{A2} - \bar{y}_{A1} = 16.0 - 21.0 = -5.0$$
小数第1位まで:-5.0
主効果の解釈
- 負の値:要因Aが水準1から水準2に変化すると応答値が減少
- 絶対値の大きさ:|−5.0|は3要因の中で最も大きい
- 実用的意味:B・Cについて平均すると、要因Aの水準1の方が水準2より応答値が5.0単位大きい
Step 4: 他の要因の主効果も確認
要因Bの主効果:
- B=1の平均:$\frac{18+22+16+18}{4} = \frac{74}{4} = 18.5$
- B=2の平均:$\frac{20+24+14+16}{4} = \frac{74}{4} = 18.5$
- 主効果B = 18.5 - 18.5 = 0.0
要因Cの主効果:
- C=1の平均:$\frac{18+20+16+14}{4} = \frac{68}{4} = 17.0$
- C=2の平均:$\frac{22+24+18+16}{4} = \frac{80}{4} = 20.0$
- 主効果C = 20.0 - 17.0 = 3.0
Step 5: 直交性の確認
L8配列の直交性により、各要因の効果は独立に推定されます:
| 要因 | 水準1平均 | 水準2平均 | 主効果 | 重要度 |
|---|
| A | 21.0 | 16.0 | -5.0 | 高 |
| B | 18.5 | 18.5 | 0.0 | 主効果なし(A×Bあり) |
| C | 17.0 | 20.0 | +3.0 | 中 |
結果の統合解釈
- 最重要要因:要因A(効果= -5.0)
- 次重要要因:要因C(効果= +3.0)
- 要因B:主効果は0.0だが、A×B交互作用がある。A=1ではB=2の方が2.0大きく(20.0→22.0)、A=2ではB=2の方が2.0小さい(17.0→15.0)。主効果0は「Bが無関係」という意味ではない
- 最適条件:A=1に固定したうえでの条件付き効果で選ぶと、B=2・C=2(A=1でC=2の平均23.0 > C=1の19.0)。実験4(A=1, B=2, C=2)の応答値24が最大
直交配列L8の構造と特性
Step 6: L8配列の完全な構造
| 実験番号 | 列1 | 列2 | 列3 | 列4 | 列5 | 列6 | 列7 |
|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 |
| 3 | 1 | 2 | 2 | 1 | 1 | 2 | 2 |
| 4 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 1 | 1 |
| 5 | 2 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 2 |
| 6 | 2 | 1 | 2 | 2 | 1 | 2 | 1 |
| 7 | 2 | 2 | 1 | 1 | 2 | 2 | 1 |
| 8 | 2 | 2 | 1 | 2 | 1 | 1 | 2 |
問題の表の水準パターンと照合すると、列1→A、列2→B、列4→Cの割り付けです(列3はA×B交互作用の列なので、Cを置くとA×Bと交絡します)。残りの4列(列3=A×B、列5=A×C、列6=B×C、列7=A×B×C)は交互作用の推定に使えます。
直交配列の選択基準
| 配列 | 実験数 | 要因数上限 | 水準数 | 用途 |
|---|
| L8(2⁷) | 8 | 7 | 2 | 多要因スクリーニング |
| L9(3⁴) | 9 | 4 | 3 | 3水準要因実験 |
| L16(2¹⁵) | 16 | 15 | 2 | 大規模スクリーニング |
| L27(3¹³) | 27 | 13 | 3 | 複雑な3水準実験 |