実験計画問題9 - 青の統計学-DS Playground-

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解説

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2³要因計画法による交互作用効果の分析

2^k要因計画法は、複数の要因とその交互作用を効率的に評価する最も基本的な実験計画です。全ての要因組み合わせを実施することで、主効果と交互作用を分離して推定できます。

2^k設計の特徴

直交性：全ての効果が独立に推定でき、完全性：k次までの全ての交互作用が評価可能です。工業実験や製品開発で最も広く使用される設計です。

Step 1: データの整理

実験番号	A	B	C	応答値1	応答値2	平均
1	-1	-1	-1	18	20	19
2	+1	-1	-1	24	26	25
3	-1	+1	-1	22	24	23
4	+1	+1	-1	30	32	31
5	-1	-1	+1	16	18	17
6	+1	-1	+1	20	22	21
7	-1	+1	+1	26	28	27
8	+1	+1	+1	36	38	37

Step 2: A×B交互作用効果の計算原理

A×B交互作用は、要因Aの効果が要因Bの水準によって変化する程度を表します。

$$AB = \frac{1}{2^{k-2}} \sum (\pm 1) \times y$$

A×B交互作用の計算では、A・B・ABの符号を掛け合わせます：

Step 3: 符号表の作成

実験	A	B	C	AB	応答値平均	AB×応答値
1	-1	-1	-1	+1	19	+19
2	+1	-1	-1	-1	25	-25
3	-1	+1	-1	-1	23	-23
4	+1	+1	-1	+1	31	+31
5	-1	-1	+1	+1	17	+17
6	+1	-1	+1	-1	21	-21
7	-1	+1	+1	-1	27	-27
8	+1	+1	+1	+1	37	+37

AB列は A×B の符号を表します（(-1)×(-1)=+1, (+1)×(-1)=-1, など）

Step 4: A×B交互作用効果の計算

$$AB = \frac{1}{2^{3-2}} \sum (AB符号 \times 応答値)$$

$$AB = \frac{1}{4} \times [19 + (-25) + (-23) + 31 + 17 + (-21) + (-27) + 37]$$

$$AB = \frac{1}{4} \times [19 - 25 - 23 + 31 + 17 - 21 - 27 + 37]$$

$$AB = \frac{1}{4} \times 8 = 2.0$$

小数第1位まで：2.0

Step 5: 交互作用の解釈

A×B交互作用 = 2.0の意味

正の交互作用：両要因が同方向（共に高水準、共に低水準）の時に効果が増大
効果の大きさ：2.0は実用的に意味のある交互作用
最適条件：A=+1, B=+1の組み合わせが最も効果的

Step 6: 他の効果も計算（参考）

主効果A：

$$A = \frac{1}{4} \times [-19 + 25 - 23 + 31 - 17 + 21 - 27 + 37] = \frac{28}{4} = 7.0$$

主効果B：

$$B = \frac{1}{4} \times [-19 - 25 + 23 + 31 - 17 - 21 + 27 + 37] = \frac{36}{4} = 9.0$$

主効果C：

$$C = \frac{1}{4} \times [-19 - 25 - 23 - 31 + 17 + 21 + 27 + 37] = \frac{4}{4} = 1.0$$

効果の相対的重要性

効果	推定値	重要度	解釈
B（主効果）	9.0	最高	要因Bが最も影響大
A（主効果）	7.0	高	要因Aも重要な影響
AB（交互作用）	2.0	中	A×Bの相乗効果あり
C（主効果）	1.0	低	要因Cの影響は小さい

交互作用プロット（理論値）

A×B交互作用を視覚化すると：

B=-1水準：Aの効果 = (25-19)/2 = 3.0
B=+1水準：Aの効果 = (37+31-27-23)/4 = 4.5
交互作用：4.5 - 3.0 = 1.5 ≈ 2.0（誤差により若干の差）

2^k設計の分散分析

完全な分散分析表（簡略版）：

変動要因	自由度	効果推定値	平方和
A	1	7.0	392
B	1	9.0	648
C	1	1.0	8
AB	1	2.0	32
AC	1	-	-
BC	1	-	-
ABC	1	-	-
誤差	8	-	16

実際の工業応用での解釈

製造プロセスでの例

もしA=温度、B=圧力、C=触媒量の場合：

温度効果（7.0）：高温で収量増加
圧力効果（9.0）：高圧で最も効果的
温度×圧力交互作用（2.0）：高温・高圧の組み合わせで特に効果的
最適条件：高温・高圧・触媒量は影響小

設計の利点と制限

利点：全ての効果を一度に評価、直交性により独立推定
制限：要因数増加で実験回数が指数的増加（2^k）
解決策：分数要因計画（2^(k-p)）で実験回数削減
分析の前提：効果の線形性と交互作用の加法性

実験番号	A	B	C	応答値1	応答値2	平均
1	-1	-1	-1	18	20	19
2	+1	-1	-1	24	26	25
3	-1	+1	-1	22	24	23
4	+1	+1	-1	30	32	31
5	-1	-1	+1	16	18	17
6	+1	-1	+1	20	22	21
7	-1	+1	+1	26	28	27
8	+1	+1	+1	36	38	37

実験	A	B	C	AB	応答値平均	AB×応答値
1	-1	-1	-1	+1	19	+19
2	+1	-1	-1	-1	25	-25
3	-1	+1	-1	-1	23	-23
4	+1	+1	-1	+1	31	+31
5	-1	-1	+1	+1	17	+17
6	+1	-1	+1	-1	21	-21
7	-1	+1	+1	-1	27	-27
8	+1	+1	+1	+1	37	+37

実験番号	A	B	C	応答値1	応答値2	平均
1	-1	-1	-1	18	20	19
2	+1	-1	-1	24	26	25
3	-1	+1	-1	22	24	23
4	+1	+1	-1	30	32	31
5	-1	-1	+1	16	18	17
6	+1	-1	+1	20	22	21
7	-1	+1	+1	26	28	27
8	+1	+1	+1	36	38	37

実験	A	B	C	AB	応答値平均	AB×応答値
1	-1	-1	-1	+1	19	+19
2	+1	-1	-1	-1	25	-25
3	-1	+1	-1	-1	23	-23
4	+1	+1	-1	+1	31	+31
5	-1	-1	+1	+1	17	+17
6	+1	-1	+1	-1	21	-21
7	-1	+1	+1	-1	27	-27
8	+1	+1	+1	+1	37	+37

実験計画法