F統計量は、問題文に与えた平方和から計算する。
ブロック化ランダム化完全計画（RCBD）：精密な比較実験の金字塔
ブロック化ランダム化完全計画（Randomized Complete Block Design, RCBD）は、既知の変動要因（ブロック）を統計的に制御することで、処理効果の検定精度を大幅に向上させる古典的でありながら極めて有効な実験計画法です。
RCBDの設計原理
- ブロック化：同質な実験単位を群（ブロック）に分類
- ランダム化：各ブロック内で処理をランダムに割り当て
- 完全実施：全ブロックで全ての処理を1回ずつ実施
- 局所制御：ブロック内の環境を可能な限り均質化
Step 1: 実験設計の詳細構造
本実験の4品種×5圃場のRCBD構造：
個別の観測値は示さない。Fの計算には、問題文の平方和だけを使う。
Step 2: 統計モデルの定式化
RCBDの線形加法モデル：
$$Y_{ij} = \mu + \alpha_i + \beta_j + \epsilon_{ij}$$
ここで：
- $Y_{ij}$：ブロック$i$、品種$j$での収量観測値
- $\mu$：全体平均。この平方和だけでは数値は決まらない
- $\alpha_i$：ブロック$i$の効果（$i = 1,2,3,4,5$）
- $\beta_j$：品種$j$の効果（$j = A,B,C,D$）
- $\epsilon_{ij}$：誤差項（$\sim N(0, \sigma^2)$）
パラメータ制約：
$$\sum_{i=1}^r \alpha_i = 0, \quad \sum_{j=1}^t \beta_j = 0$$
Step 3: ブロック化の理論的根拠
ブロック化前後の比較：
| 設計 | 変動源 | 期待平均平方 | 検定効率 |
|---|
| 完全ランダム化 | 処理・誤差 | $\sigma^2 + \sigma_{block}^2$ | 低い |
| RCBD | 処理・ブロック・誤差 | $\sigma^2$ | 高い |
ブロック化により、誤差分散から$\sigma_{block}^2$が除去され、処理効果の検定精度が向上します。
ブロック化の効果量
本実験でのブロック化効果：
- ブロック間変動：土壌肥沃度による収量差
- 変動除去効果：ブロック効果を除去することで誤差分散が大幅減少
- ブロックを無視した場合：誤差平方和は $0.72+0.60=1.32$、自由度は $20-4=16$ なので $MS_E=0.0825$。品種の平均平方 $0.96$ との比は $F=11.64$
- ブロック調整後：$MS_{error}=0.60/12=0.05$、$F=19.20$。無視した場合との比は約 $1.65$ 倍
Step 4: 平方和分解の詳細理論
RCBDでは全変動を以下のように分解：
$$SS_{total} = SS_{ブロック} + SS_{品種} + SS_{error}$$
各平方和の計算式：
$$SS_{ブロック} = t \sum_{i=1}^r (\bar{Y}_{i\cdot} - \bar{Y}_{\cdot\cdot})^2$$
$$SS_{品種} = r \sum_{j=1}^t (\bar{Y}_{\cdot j} - \bar{Y}_{\cdot\cdot})^2$$
$$SS_{error} = \sum_{i,j} (Y_{ij} - \bar{Y}_{i\cdot} - \bar{Y}_{\cdot j} + \bar{Y}_{\cdot\cdot})^2$$
ここで、$r = 5$（ブロック数）、$t = 4$（品種数）
Step 5: 自由度の体系的計算
各変動源の自由度とその理論的根拠：
$$df_{total} = rt - 1 = 20 - 1 = 19$$
$$df_{ブロック} = r - 1 = 5 - 1 = 4$$
$$df_{品種} = t - 1 = 4 - 1 = 3$$
$$df_{error} = (r-1)(t-1) = 4 \times 3 = 12$$
自由度の検証：
$$df_{total} = df_{ブロック} + df_{品種} + df_{error} = 4 + 3 + 12 = 19 \quad ✓$$
誤差自由度の統計的意味
誤差自由度が$(r-1)(t-1)$となる理由：
- 総パラメータ数：$rt$個の観測値
- 推定パラメータ：全体平均(1) + ブロック効果(r-1) + 品種効果(t-1)
- 残余自由度：$rt - 1 - (r-1) - (t-1) = (r-1)(t-1)$
- 交互作用の解釈：ブロック×品種交互作用を誤差として扱う
Step 6: 平均平方の計算と期待値
各平均平方の詳細計算：
$$MS_{ブロック} = \frac{SS_{ブロック}}{df_{ブロック}} = \frac{0.72}{4} = 0.18$$
$$MS_{品種} = \frac{SS_{品種}}{df_{品種}} = \frac{2.88}{3} = 0.96$$
$$MS_{error} = \frac{SS_{error}}{df_{error}} = \frac{0.60}{12} = 0.05$$
期待平均平方の理論：
- $E[MS_{error}] = \sigma^2$（純粋誤差分散）
- $E[MS_{品種}] = \sigma^2 + \frac{r\sum\beta_j^2}{t-1}$（品種効果ありの場合）
- $E[MS_{ブロック}] = \sigma^2 + \frac{t\sum\alpha_i^2}{r-1}$（ブロック効果ありの場合）
Step 7: F統計量の計算と分布理論
品種効果のF検定：
$$F_{品種} = \frac{MS_{品種}}{MS_{error}} = \frac{0.96}{0.05} = 19.20$$
帰無仮説：$H_0: \beta_A = \beta_B = \beta_C = \beta_D = 0$
$F_{品種} \sim F(3, 12)$ under $H_0$
ブロック効果のF検定（参考）：
$$F_{ブロック} = \frac{MS_{ブロック}}{MS_{error}} = \frac{0.18}{0.05} = 3.60$$
Step 8: 統計的有意性の判定
臨界値との詳細比較：
| 効果 | F値 | F₀.₀₅ | F₀.₀₁ | F₀.₀₀₁ | 判定 |
|---|
| 品種 | 19.20 | 3.49 | 5.95 | 10.80 | 0.1%水準で有意 |
| ブロック | 3.60 | 3.26 | 5.41 | 9.63 | 5%水準で有意 |
統計的結果の解釈
- 品種効果：F = 19.20 > 10.80 → 極めて高度に有意（p < 0.001）
- ブロック効果：F = 3.60 > 3.26 → 有意（p < 0.05）
- 設計の妥当性：ブロック化が統計的に正当化される
- 効果の大きさ：品種効果がブロック効果より圧倒的に大きい
Step 9: 効果量の詳細分析
各効果の寄与率（η²）：
$$\eta^2_{品種} = \frac{SS_{品種}}{SS_{total}} = \frac{2.88}{4.20} = 0.686$$
$$\eta^2_{ブロック} = \frac{SS_{ブロック}}{SS_{total}} = \frac{0.72}{4.20} = 0.171$$
$$\eta^2_{error} = \frac{SS_{error}}{SS_{total}} = \frac{0.60}{4.20} = 0.143$$
効果サイズの実用的解釈：
- 品種効果：全変動の68.6%を説明（極めて大きな効果）
- ブロック効果：全変動の17.1%を説明（中程度の効果）
- 制御効果：品種とブロックを合わせた説明率は85.7%である。ブロック単独は $0.72/4.20=17.1\%$ であり、85.7%はブロックだけの効果ではない
- 残差変動：わずか14.3%が説明できない変動
Step 10: ブロック化の効率性評価
相対効率の計算：
RCBDの相対効率は、完全ランダム化設計に対する効率性を示します：
$$RE = \frac{(r-1)MS_{ブロック} + r(t-1)MS_{error}}{(rt-1)MS_{error}}$$
$$RE = \frac{4 \times 0.18 + 5 \times 3 \times 0.05}{19 \times 0.05} = \frac{0.72 + 0.75}{0.95} = 1.55$$
これは、この平方和から計算した相対効率が約1.55であるという推定です。誤差分散の比で見て、完全ランダム化設計より約55%情報量が多い、という意味です。
効率性の実用的意味
- サンプルサイズ削減：相対効率1.55は誤差分散の比の推定である。$1-1/1.55\approx 35\%$ は実験単位数への読み替えであり、自由度も変わるため、同じ検定力が保証されるわけではない
- コスト削減：実験コストの大幅な節約が可能
- 精度向上：同じ実験単位数でより精密な推定が可能
- 検出力向上：小さな処理効果も検出しやすくなる
Step 11: 多重比較による品種間差の詳細分析
Tukey HSD法による全対比較：
$$HSD = q_{\alpha}(t, df_{error}) \sqrt{\frac{MS_{error}}{r}}$$
$$HSD = q_{0.05}(4, 12) \sqrt{\frac{0.05}{5}} = 4.20 \times 0.10 = 0.42$$
品種間差の統計的検定：
対比較は、個別の収量がないのでここでは計算しない。
Step 12: 対比（Contrast）による計画比較
直交対比の設計：
| 対比 | A | B | C | D | 解釈 |
|---|
| L₁ | -3 | 1 | 1 | 1 | A vs (B,C,D) |
| L₂ | 0 | -2 | 1 | 1 | (C,D) vs B |
| L₃ | 0 | 0 | -1 | 1 | D vs C |
対比の統計的検定：
$$t_{L_i} = \frac{L_i}{\sqrt{MS_{error} \times \frac{\sum c_j^2}{r}}}$$
品種平均は与えられていないので、対比の値や、どの品種が劣るかは計算しない。残差もないので、正規性や等分散性が満たされたとは言えない。