Bonferroni法による多重比較補正
Bonferroni法は、複数の統計的検定を同時に行う際に第1種過誤率（αエラー）の増大を制御する最も基本的な多重比較補正法です。保守的ですが、理解しやすく広く使用されています。
多重比較の必要性
第1種過誤の増大：複数の検定を行うと、全体としての偽陽性率が上昇します。家族誤差率制御：Bonferroni法により、実験全体の有意水準を制御できます。
Step 1: 問題設定の確認
| 群 | 平均 | サンプルサイズ | 記号 |
|---|
| A | 8.0 | 10 | $\bar{x}_A$ |
| B | 10.0 | 10 | $\bar{x}_B$ |
| C | 12.0 | 10 | $\bar{x}_C$ |
| D | 14.0 | 10 | $\bar{x}_D$ |
- 群内平均平方：MSE = 4.0
- 各群のサイズ：n = 10（等サイズ）
- 自由度：df = 4×10-4 = 36
全体平均は $(8+10+12+14)/4=11$ です。したがって
$$F=\frac{10\{(8-11)^2+(10-11)^2+(12-11)^2+(14-11)^2\}/3}{4}=\frac{50}{3}=16.667$$
問題文の F 値はこの計算と一致します。信頼区間の数値には使いません。
Step 2: 比較回数とBonferroni補正
4群の全ての対比較数：
$$比較回数 = \binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = 6$$
具体的な比較：A-B, A-C, A-D, B-C, B-D, C-D
Bonferroni補正後の有意水準：
$$\alpha_{adj} = \frac{\alpha}{比較回数} = \frac{0.05}{6} = 0.0083$$
95%信頼区間の場合、片側確率：
$$\alpha_{adj}/2 = \frac{0.0083}{2} = 0.00417$$
Step 3: t値の決定
自由度36、α/2 = 0.00417に対応するt値：
$$t_{36,\,0.05/12} = 2.792$$
（通常のt値：t₃₆,₀.₀₂₅ ≈ 2.03と比較して大きくなる）
Step 4: A群とD群の平均差
$$\bar{x}_D - \bar{x}_A = 14.0 - 8.0 = 6.0$$
Step 5: 標準誤差の計算
等サイズの2群間平均差の標準誤差：
$$SE(\bar{x}_D - \bar{x}_A) = \sqrt{MSE \times \left(\frac{1}{n_A} + \frac{1}{n_D}\right)}$$
$$SE = \sqrt{4.0 \times \left(\frac{1}{10} + \frac{1}{10}\right)} = \sqrt{4.0 \times 0.2} = \sqrt{0.8} = 0.894$$
Step 6: 95%信頼区間の計算
Bonferroni補正後の信頼区間：
$$(\bar{x}_D - \bar{x}_A) \pm t_{adj} \times SE$$
$$6.0 \pm 2.792 \times \sqrt{0.8} = 6.0 \pm 2.497$$
信頼区間：
$$下限 = 6.0 - 2.497 = 3.503$$
$$上限 = 6.0 + 2.497 = 8.497$$
Step 7: 結果の解釈
- 平均差：D群はA群より6.0ポイント高い
- 95%信頼区間：小数第2位を四捨五入すると [3.5, 8.5]
Bonferroni補正後の信頼区間は約［3.5, 8.5］で、0を含まないため、D群とA群の平均に有意差が認められる。
全ての対比較結果（参考）
| 比較 | 平均差 | 信頼区間下限 | 信頼区間上限 | 有意性 |
|---|
| B - A | 2.0 | -0.5 | 4.5 | n.s. |
| C - A | 4.0 | 1.5 | 6.5 | * |
| D - A | 6.0 | 3.5 | 8.5 | ** |
| C - B | 2.0 | -0.5 | 4.5 | n.s. |
| D - B | 4.0 | 1.5 | 6.5 | * |
| D - C | 2.0 | -0.5 | 4.5 | n.s. |
* p < 0.05/6, ** p < 0.01/6
多重比較法の比較
主要な多重比較法の特徴
| 手法 | 保守性 | 検出力 | 適用場面 |
|---|
| Bonferroni | 高い | 低い | 少数の計画比較 |
| Tukey HSD | 中程度 | 中程度 | 全ての対比較 |
| Scheffé | 非常に高い | 低い | 任意の線形対比 |
| Dunnett | 中程度 | 高い | 対照群との比較 |
| Holm | 中程度 | 中程度 | Bonferroniの改良 |
Step 8: Tukey HSDとの比較
同じデータでTukey HSDを使用した場合：
$$HSD = q_{\alpha,k,df} \times \sqrt{\frac{MSE}{n}} = q_{0.05,4,36} \times \sqrt{\frac{4.0}{10}}$$
$$HSD = 3.809 \times \sqrt{4/10} = 2.409$$
Tukey HSDの信頼区間幅：±2.41（Bonferroniの±2.497より狭い）
実際の研究での選択指針
多重比較法の選択基準
- 比較の性質：計画比較 vs 事後探索
- 比較回数：少数 vs 多数
- 第1種・第2種過誤のバランス
- 研究分野の慣例