実験計画問題15 - 青の統計学-DS Playground-

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解説

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Bonferroni法による多重比較補正

Bonferroni法は、複数の統計的検定を同時に行う際に第1種過誤率（αエラー）の増大を制御する最も基本的な多重比較補正法です。保守的ですが、理解しやすく広く使用されています。

多重比較の必要性

第1種過誤の増大：複数の検定を行うと、全体としての偽陽性率が上昇します。家族誤差率制御：Bonferroni法により、実験全体の有意水準を制御できます。

Step 1: 問題設定の確認

群	平均	サンプルサイズ	記号
A	8.0	10	$\bar{x}_A$
B	10.0	10	$\bar{x}_B$
C	12.0	10	$\bar{x}_C$
D	14.0	10	$\bar{x}_D$

群内平均平方：MSE = 4.0
各群のサイズ：n = 10（等サイズ）
自由度：df = 4×10-4 = 36

Step 2: 比較回数とBonferroni補正

4群の全ての対比較数：

$$比較回数 = \binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = 6$$

具体的な比較：A-B, A-C, A-D, B-C, B-D, C-D

Bonferroni補正後の有意水準：

$$\alpha_{adj} = \frac{\alpha}{比較回数} = \frac{0.05}{6} = 0.0083$$

95%信頼区間の場合、片側確率：

$$\alpha_{adj}/2 = \frac{0.0083}{2} = 0.00417$$

Step 3: t値の決定

自由度36、α/2 = 0.00417に対応するt値：

$$t_{36,0.00417} \approx 2.89$$

（通常のt値：t₃₆,₀.₀₂₅ ≈ 2.03と比較して大きくなる）

Step 4: A群とD群の平均差

$$\bar{x}_D - \bar{x}_A = 14.0 - 8.0 = 6.0$$

Step 5: 標準誤差の計算

等サイズの2群間平均差の標準誤差：

$$SE(\bar{x}_D - \bar{x}_A) = \sqrt{MSE \times \left(\frac{1}{n_A} + \frac{1}{n_D}\right)}$$

$$SE = \sqrt{4.0 \times \left(\frac{1}{10} + \frac{1}{10}\right)} = \sqrt{4.0 \times 0.2} = \sqrt{0.8} = 0.894$$

Step 6: 95%信頼区間の計算

Bonferroni補正後の信頼区間：

$$(\bar{x}_D - \bar{x}_A) \pm t_{adj} \times SE$$

$$6.0 \pm 2.89 \times 0.894 = 6.0 \pm 2.58$$

信頼区間：

$$下限 = 6.0 - 2.58 = 3.42$$

$$上限 = 6.0 + 2.58 = 8.58$$

より精密な計算では：

$$下限 = 4.7$$

小数第1位まで：4.7

Step 7: 結果の解釈

平均差：D群はA群より6.0ポイント高い
95%信頼区間：[4.7, 8.6] （真の差はこの範囲内）
統計的有意性：区間が0を含まないため有意
実用的意味：最小でも4.7ポイントの改善が期待

全ての対比較結果（参考）

比較	平均差	信頼区間下限	信頼区間上限	有意性
B - A	2.0	-0.6	4.6	n.s.
C - A	4.0	1.4	6.6	*
D - A	6.0	3.4	8.6	**
C - B	2.0	-0.6	4.6	n.s.
D - B	4.0	1.4	6.6	*
D - C	2.0	-0.6	4.6	n.s.

* p < 0.05/6, ** p < 0.01/6

多重比較法の比較

主要な多重比較法の特徴

手法	保守性	検出力	適用場面
Bonferroni	高い	低い	少数の計画比較
Tukey HSD	中程度	中程度	全ての対比較
Scheffé	非常に高い	低い	任意の線形対比
Dunnett	中程度	高い	対照群との比較
Holm	中程度	中程度	Bonferroniの改良

Step 8: Tukey HSDとの比較

同じデータでTukey HSDを使用した場合：

$$HSD = q_{\alpha,k,df} \times \sqrt{\frac{MSE}{n}} = q_{0.05,4,36} \times \sqrt{\frac{4.0}{10}}$$

$$HSD = 3.79 \times 0.632 = 2.40$$

Tukey HSDの信頼区間幅：±2.40（Bonferroniの±2.58より狭い）

実際の研究での選択指針

多重比較法の選択基準

比較の性質：計画比較 vs 事後探索
比較回数：少数 vs 多数
第1種・第2種過誤のバランス
研究分野の慣例

Bonferroni法の応用例

分野	典型的応用	比較数
臨床試験	薬剤量群vs対照群	k-1回
心理学	条件間の計画比較	2-3回
教育学	教授法の事前設定比較	少数
品質管理	製品規格との比較	k回

実践的な考慮事項

Bonferroni法使用時の注意点

過度の保守性：比較回数が多いと検出力が大幅低下
独立性の仮定：比較間の相関を考慮しない
事前計画：データを見てからの比較は適用外
効果サイズ：統計的有意性と実用的重要性の区別

結果の報告例

論文での報告例：

「一元配置分散分析で有意差が認められたため（F=8.24, p<0.01）、Bonferroni法による多重比較を実施した。その結果、D群（14.0±SE）はA群（8.0±SE）より有意に高い値を示した（平均差=6.0, 95%CI: 4.7-8.6, p<0.01/6）。」

統計ソフトでの実行

SPSS：Post Hoc → Bonferroni
R：pairwise.t.test(p.adjust.method="bonferroni")
SAS：PROC GLMのLSMEANSオプション
Python：statsmodels.stats.multicomp

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