実験計画法

統計検定準1級レベルの実験計画法に関する演習問題。分散分析、要因計画、乱塊法、ラテン方格、交互作用、多重比較など高度な実験設計理論を学習

一元配置分散分析（処理間平方和）の基本計算レベル2

3つの処理群（A、B、C）について一元配置分散分析を実施した。以下のデータが得られた。\n\n群A（n=4）: 8, 12, 10, 14\n群B（n=4）: 15, 13, 17, 11\n群C（n=4）: 6, 8, 10, 4\n\n処理間平方和（SSB）を計算せよ。整数で答えよ。

解説

解答と解説を表示

一元配置分散分析（One-way ANOVA）は、3つ以上の群の平均値に差があるかを検定する統計手法です。処理間平方和（SSB）は、群間の変動を表す重要な指標です。

分散分析の基本概念

全変動の分解：総変動＝処理間変動＋処理内変動として分解できます。F検定：処理間変動と処理内変動の比を用いて群間差を検定します。

Step 1: 各群の記述統計量を計算

群	データ	群平均（x̄ᵢ）	サンプルサイズ（nᵢ）
A	8, 12, 10, 14	11.0	4
B	15, 13, 17, 11	14.0	4
C	6, 8, 10, 4	7.0	4

各群平均の計算：

$\bar{x}_A = \frac{8+12+10+14}{4} = \frac{44}{4} = 11.0$

$\bar{x}_B = \frac{15+13+17+11}{4} = \frac{56}{4} = 14.0$

$\bar{x}_C = \frac{6+8+10+4}{4} = \frac{28}{4} = 7.0$

Step 2: 全体平均（総平均）を計算

全データ：8, 12, 10, 14, 15, 13, 17, 11, 6, 8, 10, 4

総サンプル数：N = 4 + 4 + 4 = 12

$\bar{x}_{全体} = \frac{\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n_i} x_{ij}}{N} = \frac{44+56+28}{12} = \frac{128}{12} = 10.67$

Step 3: 処理間平方和（SSB）の計算

処理間平方和の公式：

$SSB = \sum_{i=1}^{k} n_i(\bar{x}_i - \bar{x}_{全体})^2$

各群の寄与を計算：

群Aの寄与：

$n_A(\bar{x}_A - \bar{x}_{全体})^2 = 4 \times (11.0 - 10.67)^2 = 4 \times (0.33)^2 = 4 \times 0.109 = 0.436$

群Bの寄与：

$n_B(\bar{x}_B - \bar{x}_{全体})^2 = 4 \times (14.0 - 10.67)^2 = 4 \times (3.33)^2 = 4 \times 11.089 = 44.356$

群Cの寄与：

$n_C(\bar{x}_C - \bar{x}_{全体})^2 = 4 \times (7.0 - 10.67)^2 = 4 \times (-3.67)^2 = 4 \times 13.469 = 53.876$

Step 4: SSBの合計

より正確な計算：

$\bar{x}_{全体} = \frac{128}{12} = 10\frac{2}{3}$

$SSB = 4(11 - 10\frac{2}{3})^2 + 4(14 - 10\frac{2}{3})^2 + 4(7 - 10\frac{2}{3})^2$

$= 4(\frac{1}{3})^2 + 4(\frac{10}{3})^2 + 4(-\frac{11}{3})^2$

$= 4 \times \frac{1}{9} + 4 \times \frac{100}{9} + 4 \times \frac{121}{9}$

$= \frac{4}{9} + \frac{400}{9} + \frac{484}{9} = \frac{888}{9} = \frac{296}{3} = 98.67$

Step 5: 分散分析表の構成要素

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