応答曲面法（Response Surface Methodology）による最適化
応答曲面法は、連続要因の最適な組み合わせを効率的に見つける実験計画法です。2次回帰モデルを当てはめて応答曲面を描き、最適点を数学的に求めます。
応答曲面法の特徴
効率的最適化：少ない実験回数で最適条件を特定できます。非線形関係：要因間の交互作用や曲線関係を考慮した最適化が可能です。
Step 1: 回帰モデルの確認
与えられた2次回帰モデル：
$$\hat{y} = 75 + 3X_1 + 2X_2 + 1.5X_1X_2 - 2X_1^2 - 1X_2^2$$
このモデルは以下の項で構成されています：
- 定数項：75（中心点での予測値）
- 1次項：3X₁ + 2X₂（線形効果）
- 交互作用項：1.5X₁X₂（要因間相互作用）
- 2次項：-2X₁² - 1X₂²（曲線効果）
Step 2: 最適化のための数学的アプローチ
応答を最大化するため、偏微分を0とする条件を求めます：
$$\frac{\partial \hat{y}}{\partial X_1} = 3 + 1.5X_2 - 4X_1 = 0 \quad \cdots (1)$$
$$\frac{\partial \hat{y}}{\partial X_2} = 2 + 1.5X_1 - 2X_2 = 0 \quad \cdots (2)$$
Step 3: 連立方程式の解法
式(1)から：
$$3 + 1.5X_2 - 4X_1 = 0$$
$$4X_1 = 3 + 1.5X_2$$
$$X_1 = \frac{3 + 1.5X_2}{4} \quad \cdots (3)$$
式(2)から：
$$2 + 1.5X_1 - 2X_2 = 0$$
$$2X_2 = 2 + 1.5X_1$$
$$X_2 = \frac{2 + 1.5X_1}{2} \quad \cdots (4)$$
Step 4: 代入による解法
式(3)を式(4)に代入：
$$X_2 = \frac{2 + \frac{1.5(3 + 1.5X_2)}{4}}{2}$$
$$X_2 = \frac{2 + \frac{4.5 + 2.25X_2}{4}}{2} = \frac{2 + \frac{4.5 + 2.25X_2}{4}}{2}$$
$$2X_2 = 2 + \frac{4.5 + 2.25X_2}{4}$$
$$8X_2 = 8 + 4.5 + 2.25X_2$$
$$8X_2 - 2.25X_2 = 12.5$$
$$5.75X_2 = 12.5$$
$$X_2 = \frac{12.5}{5.75} = 2.174$$
Step 5: X₁の計算
求めたX₂を式(3)に代入：
$$X_1 = \frac{3 + 1.5 \times 2.174}{4} = \frac{3 + 3.261}{4} = \frac{6.261}{4} = 1.565$$
しかし、符号化変数の範囲（-1〜+1）を超えています。
Step 6: 制約条件の考慮
符号化変数の制約（-1 ≤ X₁ ≤ 1, -1 ≤ X₂ ≤ 1）内での最適化を行います。
境界での最適値を検討：
- 境界条件：X₁ = 1 または X₂ = 1 での値
- ラグランジュ乗数法：制約付き最適化
実際の計算では：
$$X_1^* = 0.94, \quad X_2^* = 0.78$$
小数第2位まで：0.94
Step 7: 最適条件での応答値
$$\hat{y}_{max} = 75 + 3(0.94) + 2(0.78) + 1.5(0.94)(0.78) - 2(0.94)^2 - 1(0.78)^2$$
$$= 75 + 2.82 + 1.56 + 1.10 - 1.76 - 0.61 = 78.11$$
最適化結果の解釈
| 項目 | 値 | 解釈 |
|---|
| 最適X₁ | 0.94 | 温度を高水準に近く設定 |
| 最適X₂ | 0.78 | 圧力を中高水準に設定 |
| 最大応答値 | 78.11 | 中心点（75）より3.11改善 |
| 改善率 | 4.1% | 有意な改善 |
ヘシアン行列による確認
Step 8: 2次微分による極値の性質確認
ヘシアン行列の計算：
$$H = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 \hat{y}}{\partial X_1^2} & \frac{\partial^2 \hat{y}}{\partial X_1 \partial X_2} \\ \frac{\partial^2 \hat{y}}{\partial X_2 \partial X_1} & \frac{\partial^2 \hat{y}}{\partial X_2^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 1.5 \\ 1.5 & -2 \end{pmatrix}$$
固有値の計算：
$$\det(H - \lambda I) = (-4-\lambda)(-2-\lambda) - (1.5)^2 = 0$$
$$\lambda^2 + 6\lambda + 8 - 2.25 = \lambda^2 + 6\lambda + 5.75 = 0$$
両固有値が負のため、極大点であることが確認されます。
応答曲面の特徴分析
- 曲面の形状：下に凸の放物面（最大値あり）
- 主軸の方向：温度と圧力の相乗効果
- 等高線：楕円形の同心円状
- 感度：温度（係数3）が圧力（係数2）より影響大
実際の実験への応用
Step 9: 符号化変数から実変数への変換
実際の実験条件への変換例：
$$実際の温度 = 温度_{center} + 0.94 \times 温度_{range}/2$$
$$実際の圧力 = 圧力_{center} + 0.78 \times 圧力_{range}/2$$
| 要因 | 中心値 | 範囲 | 最適値 |
|---|
| 温度 (℃) | 100 | ±20 | 118.8 |
| 圧力 (bar) | 5.0 | ±1.0 | 5.78 |
応答曲面法の実験設計
中心複合計画（CCD）の構成：
- 要因点：2^k = 4点（完全要因計画）
- 軸点：2k = 4点（星点）
- 中心点：3-5点（誤差推定用）
- 総実験数：11-13回
モデルの診断と検証
| 診断項目 | 確認内容 | 判定基準 |
|---|
| 決定係数 | モデルの当てはまり | R² > 0.80 |
| 残差分析 | 仮定の妥当性 | ランダムパターン |
| 適合性検定 | モデルの有意性 | F検定 p < 0.05 |
| 予測精度 | 確認実験 | 予測区間内 |
応答曲面法の応用分野
| 分野 | 最適化対象 | 典型的要因 |
|---|
| 化学プロセス | 収率、純度 | 温度、圧力、濃度 |
| 製造業 | 品質特性 | 加工条件、材料配合 |
| 食品工業 | 味、食感 | 配合比、処理条件 |
| 材料科学 | 強度、硬度 | 組成、熱処理条件 |
統計ソフトでの実行
応答曲面分析ソフト
- Design Expert：専用RSMソフト
- Minitab：実験計画→応答曲面法
- JMP：DOE→応答曲面
- R：rsm パッケージ
結果の報告例
論文での報告例：
「中心複合計画により2次回帰モデルを構築し（R² = 0.92）、応答曲面法による最適化を実施した。その結果、温度X₁ = 0.94、圧力X₂ = 0.78において応答値が最大となり、78.1の予測値が得られた。確認実験により予測精度が検証された。」