モーメント法による推定

問題:

ガンマ分布$\text{Gamma}(\alpha, \beta)$（形状パラメータ$\alpha$、尺度パラメータ$\beta$）からの標本$X_1, \ldots, X_n$について、モーメント法による$\alpha$の推定量はどれか。ただし、$E[X] = \alpha\beta$、$\text{Var}(X) = \alpha\beta^2$である。

選択肢:

• $\hat{\alpha} = \frac{\bar{X}^2}{S^2}$
• $\hat{\alpha} = \frac{S^2}{\bar{X}}$
• $\hat{\alpha} = \frac{\bar{X}}{S^2}$
• $\hat{\alpha} = \frac{S^2}{\bar{X}^2}$
• $\hat{\alpha} = \bar{X} \cdot S^2$