<h4>モーメント法の理論的基礎</h4><p>モーメント法は、理論的モーメントと標本モーメントを等しくおいて未知パラメータを推定する方法です。$k$個のパラメータを持つ分布に対して、$k$個のモーメント方程式を設定します。</p><h4>ガンマ分布の確率密度関数と性質</h4><p>ガンマ分布$\text{Gamma}(\alpha, \beta)$の確率密度関数は：</p><div class='formula'>$f(x; \alpha, \beta) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^\alpha} x^{\alpha-1} e^{-x/\beta} \quad (x > 0)
lt;/div><p>ここで$\alpha > 0$は形状パラメータ、$\beta > 0$は尺度パラメータです。</p><h4>ガンマ分布のモーメント</h4><p class='step'><strong>Step 1: 理論的モーメントの導出</strong></p><p>ガンマ分布の第1次および第2次モーメント：</p><div class='formula'>$E[X] = \alpha\beta
lt;/div><div class='formula'>$E[X^2] = \text{Var}(X) + (E[X])^2 = \alpha\beta^2 + (\alpha\beta)^2 = \alpha\beta^2(1 + \alpha)
lt;/div><p>したがって分散は：</p><div class='formula'>$\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \alpha\beta^2(1 + \alpha) - (\alpha\beta)^2 = \alpha\beta^2
lt;/div><h4>モーメント方程式の設定と解法</h4><p class='step'><strong>Step 2: モーメント方程式の設定</strong></p><p>理論的モーメントと標本モーメントを等しくおきます：</p><div class='formula'>$\begin{cases}E[X] = \bar{X} \Rightarrow \alpha\beta = \bar{X} \quad \cdots (1) \\\text{Var}(X) = S^2 \Rightarrow \alpha\beta^2 = S^2 \quad \cdots (2)\end{cases}
lt;/div><p>ここで$S^2$は標本分散（不偏分散または偏差分散のいずれでも可）です。</p><p class='step'><strong>Step 3: パラメータの解法</strong></p><p>方程式(2)を方程式(1)で割ると：</p><div class='formula'>$\frac{\alpha\beta^2}{\alpha\beta} = \frac{S^2}{\bar{X}} \Rightarrow \beta = \frac{S^2}{\bar{X}}
lt;/div><p>この結果を方程式(1)に代入：</p><div class='formula'>$\alpha \cdot \frac{S^2}{\bar{X}} = \bar{X} \Rightarrow \alpha = \frac{\bar{X}^2}{S^2}
lt;/div><p class='step'><strong>Step 4: 尺度パラメータの推定量</strong></p><p>同様に、$\beta$の推定量は：</p><div class='formula'>$\hat{\beta} = \frac{S^2}{\bar{X}}
lt;/div><h4>モーメント推定量の統計的性質</h4><div class='key-point'><div class='key-point-title'>モーメント推定量の性質</div><p><strong>一致性</strong>：</p><p>大数の強法則により、$\bar{X} \xrightarrow{a.s.} \alpha\beta$、$S^2 \xrightarrow{a.s.} \alpha\beta^2$なので、連続写像定理により：</p><div class='formula'>$\hat{\alpha} = \frac{\bar{X}^2}{S^2} \xrightarrow{a.s.} \frac{(\alpha\beta)^2}{\alpha\beta^2} = \alpha
lt;/div><p><strong>漸近正規性</strong>：</p><p>デルタ法により、$\hat{\alpha}$は漸近正規分布に従います。</p><p><strong>効率性</strong>：</p><p>一般に最尤推定量より効率が劣りますが、計算が簡単で実用的です。</p></div><h4>最尤推定量との比較</h4><p class='step'><strong>Step 5: 最尤推定量</strong></p><p>ガンマ分布の最尤推定量は解析的に求まらず、数値的方法が必要です：</p><div class='formula'>$\log \hat{\alpha} - \psi(\hat{\alpha}) = \log \bar{X} - \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \log X_i
lt;/div><p>ここで$\psi(\cdot)$はディガンマ関数です。</p><table border='1' style='border-collapse: collapse; width: 100%;'><tr><th>推定法</th><th>計算の容易さ</th><th>効率性</th><th>実用性</th></tr><tr><td>モーメント法</td><td>簡単</td><td>中程度</td><td>高い</td></tr><tr><td>最尤法</td><td>困難（数値計算）</td><td>高い</td><td>中程度</td></tr></table><h4>変分係数による解釈</h4><p class='step'><strong>Step 6: 変分係数との関係</strong></p><p>ガンマ分布の変分係数は：</p><div class='formula'>$CV = \frac{\sqrt{\text{Var}(X)}}{E[X]} = \frac{\sqrt{\alpha\beta^2}}{\alpha\beta} = \frac{1}{\sqrt{\alpha}}
lt;/div><p>したがって：</p><div class='formula'>$\hat{\alpha} = \frac{1}{\widehat{CV}^2} = \frac{\bar{X}^2}{S^2}
lt;/div><p>これは標本変分係数の逆数の二乗として解釈できます。</p><p>したがって、モーメント法による$\alpha$の推定量は$\hat{\alpha} = \frac{\bar{X}^2}{S^2}$です。</p>