モーメント法の理論的基礎
モーメント法は、理論的モーメントと標本モーメントを等しくおいて未知パラメータを推定する方法です。$k$個のパラメータを持つ分布に対して、$k$個のモーメント方程式を設定します。
ガンマ分布の確率密度関数と性質
ガンマ分布$\text{Gamma}(\alpha, \beta)$の確率密度関数は：
$f(x; \alpha, \beta) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^\alpha} x^{\alpha-1} e^{-x/\beta} \quad (x > 0)$
ここで$\alpha > 0$は形状パラメータ、$\beta > 0$は尺度パラメータです。
ガンマ分布のモーメント
Step 1: 理論的モーメントの導出
ガンマ分布の第1次および第2次モーメント：
$E[X] = \alpha\beta$
$E[X^2] = \text{Var}(X) + (E[X])^2 = \alpha\beta^2 + (\alpha\beta)^2 = \alpha\beta^2(1 + \alpha)$
したがって分散は：
$\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \alpha\beta^2(1 + \alpha) - (\alpha\beta)^2 = \alpha\beta^2$
モーメント方程式の設定と解法
Step 2: モーメント方程式の設定
理論的モーメントと標本モーメントを等しくおきます：
$\begin{cases}E[X] = \bar{X} \Rightarrow \alpha\beta = \bar{X} \quad \cdots (1) \\\text{Var}(X) = S^2 \Rightarrow \alpha\beta^2 = S^2 \quad \cdots (2)\end{cases}$
ここで$S^2$は標本分散（不偏分散または偏差分散のいずれでも可）です。
Step 3: パラメータの解法
方程式(2)を方程式(1)で割ると：
$\frac{\alpha\beta^2}{\alpha\beta} = \frac{S^2}{\bar{X}} \Rightarrow \beta = \frac{S^2}{\bar{X}}$
この結果を方程式(1)に代入：
$\alpha \cdot \frac{S^2}{\bar{X}} = \bar{X} \Rightarrow \alpha = \frac{\bar{X}^2}{S^2}$
Step 4: 尺度パラメータの推定量
同様に、$\beta$の推定量は：
$\hat{\beta} = \frac{S^2}{\bar{X}}$
モーメント推定量の統計的性質
モーメント推定量の性質
一致性：
大数の強法則により、$\bar{X} \xrightarrow{a.s.} \alpha\beta$、$S^2 \xrightarrow{a.s.} \alpha\beta^2$なので、連続写像定理により：
$\hat{\alpha} = \frac{\bar{X}^2}{S^2} \xrightarrow{a.s.} \frac{(\alpha\beta)^2}{\alpha\beta^2} = \alpha$
漸近正規性：
デルタ法により、$\hat{\alpha}$は漸近正規分布に従います。
効率性：
一般に最尤推定量より効率が劣りますが、計算が簡単で実用的です。
最尤推定量との比較
Step 5: 最尤推定量
ガンマ分布の最尤推定量は解析的に求まらず、数値的方法が必要です：
$\log \hat{\alpha} - \psi(\hat{\alpha}) = \log \bar{X} - \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \log X_i$
ここで$\psi(\cdot)$はディガンマ関数です。
| 推定法 | 計算の容易さ | 効率性 | 実用性 |
|---|
| モーメント法 | 簡単 | 中程度 | 高い |
| 最尤法 | 困難（数値計算） | 高い | 中程度 |
変分係数による解釈
Step 6: 変分係数との関係
ガンマ分布の変分係数は：
$CV = \frac{\sqrt{\text{Var}(X)}}{E[X]} = \frac{\sqrt{\alpha\beta^2}}{\alpha\beta} = \frac{1}{\sqrt{\alpha}}$
したがって：
$\hat{\alpha} = \frac{1}{\widehat{CV}^2} = \frac{\bar{X}^2}{S^2}$
これは標本変分係数の逆数の二乗として解釈できます。
したがって、モーメント法による$\alpha$の推定量は$\hat{\alpha} = \frac{\bar{X}^2}{S^2}$です。