十分統計量の概念を理解する基本問題です。
十分統計量の定義
統計量$T(X_1, \ldots, X_n)$が母数$\theta$に関して十分であるとは、$\theta$を与えたときの$(X_1, \ldots, X_n)$の条件付き分布が$T$の値によらないことです。
1. 正規分布の確率密度関数
$X_i \sim N(\mu, \sigma^2)$（$\sigma^2$既知）のとき：
$f(x_i; \mu) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{(x_i - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)$
2. 同時確率密度関数
$\begin{align}f(x_1, \ldots, x_n; \mu) &= \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{(x_i - \mu)^2}{2\sigma^2}\right) \\&= \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\right)^n \exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2\right)\end{align}$
3. 指数型分布族への変形
$\begin{align}\sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 &= \sum_{i=1}^n x_i^2 - 2\mu\sum_{i=1}^n x_i + n\mu^2\end{align}$
したがって：
$f(x_1, \ldots, x_n; \mu) = h(x_1, \ldots, x_n) \exp\left(\frac{\mu}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n x_i - \frac{n\mu^2}{2\sigma^2}\right)$
4. フィッシャー・ネイマンの因数分解定理
上式から、$T = \sum_{i=1}^n X_i$が$\mu$に関する十分統計量であることがわかります。
十分統計量の意味
$T = \sum_{i=1}^n X_i$は標本から$\mu$に関するすべての情報を抽出しています。標本平均$\bar{X} = T/n$も十分統計量ですが、選択肢では$T = \sum_{i=1}^n X_i$が基本的な形です。
したがって、$\mu$に関する十分統計量は$T = \sum_{i=1}^n X_i$です。