<p><strong>クラメール・ラオの不等式</strong>による推定量の効率性評価問題です。</p><h4>クラメール・ラオの不等式</h4><p>正則条件を満たす分布において、母数$\theta$の不偏推定量$\hat{\theta}$の分散は：</p><p class='formula'>$\text{Var}(\hat{\theta}) \geq \frac{1}{I(\theta)}
lt;/p><p>ここで$I(\theta)$はフィッシャー情報量です。</p><p class='step'>1. 対数尤度関数</p><p>正規分布$N(\mu, \sigma^2)$の対数尤度：</p><div class='formula'>$\ell(\mu) = -\frac{n}{2}\log(2\pi\sigma^2) - \frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2
lt;/div><p class='step'>2. スコア関数</p><div class='formula'>$\frac{\partial \ell}{\partial \mu} = \frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n (x_i - \mu)
lt;/div><p class='step'>3. フィッシャー情報量の計算</p><div class='formula'>\begin{align}I(\mu) &= E\left[\left(\frac{\partial \ell}{\partial \mu}\right)^2\right] \\&= E\left[\left(\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)\right)^2\right] \\&= \frac{1}{\sigma^4} E\left[\left(\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)\right)^2\right]\end{align}</div><p>$X_i$は独立なので：</p><div class='formula'>$E\left[\left(\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)\right)^2\right] = \sum_{i=1}^n \text{Var}(X_i) = n\sigma^2
lt;/div><p>したがって：</p><div class='formula'>$I(\mu) = \frac{n\sigma^2}{\sigma^4} = \frac{n}{\sigma^2}
lt;/div><p class='step'>4. クラメール・ラオ下界</p><div class='formula'>$\text{Var}(\hat{\mu}) \geq \frac{1}{I(\mu)} = \frac{\sigma^2}{n}
lt;/div><div class='key-point'><div class='key-point-title'>効率的推定量</div><p>標本平均$\bar{X}$の分散は$\text{Var}(\bar{X}) = \sigma^2/n$であり、クラメール・ラオ下界に一致します。したがって$\bar{X}$は効率的推定量（最小分散不偏推定量）です。</p></div><p>したがって、クラメール・ラオ下界は$\frac{\sigma^2}{n}$です。</p>