<p><strong>一致推定量</strong>の定義と性質に関する問題です。</p><h4>一致推定量の定義</h4><p>推定量$\hat{\theta}_n$が母数$\theta$に確率収束するとき、$\hat{\theta}_n$を$\theta$の一致推定量と呼びます：</p><p class='formula'>$\hat{\theta}_n \xrightarrow{P} \theta$ as $n \to \infty
lt;/p><p>これは任意の$\varepsilon > 0$に対して：</p><p class='formula'>$\lim_{n \to \infty} P(|\hat{\theta}_n - \theta| > \varepsilon) = 0
lt;/p><p class='step'>1. 一致性の十分条件</p><p>推定量$\hat{\theta}_n$について、以下が成り立てば一致推定量です：</p><div class='formula'>$\begin{cases}\lim_{n \to \infty} E[\hat{\theta}_n] = \theta \quad \text{（漸近不偏性）} \\\lim_{n \to \infty} \text{Var}(\hat{\theta}_n) = 0 \quad \text{（分散の収束）}\end{cases}
lt;/div><p class='step'>2. チェビシェフの不等式による証明</p><p>上記条件が満たされるとき、チェビシェフの不等式より：</p><div class='formula'>$P(|\hat{\theta}_n - \theta| > \varepsilon) \leq \frac{E[(\hat{\theta}_n - \theta)^2]}{\varepsilon^2}
lt;/div><p>平均二乗誤差の分解：</p><div class='formula'>$E[(\hat{\theta}_n - \theta)^2] = \text{Var}(\hat{\theta}_n) + [E[\hat{\theta}_n] - \theta]^2
lt;/div><p>$n \to \infty$のとき、右辺は0に収束するため確率収束が示されます。</p><p class='step'>3. 一致推定量の例</p><ul><li>標本平均$\bar{X}_n$は母平均$\mu$の一致推定量</li><li>標本分散$S_n^2$は母分散$\sigma^2$の一致推定量</li><li>最尤推定量は正則条件下で一致推定量</li></ul><div class='key-point'><div class='key-point-title'>一致性と不偏性の関係</div><p>一致推定量は必ずしも不偏推定量ではありません。例えば、最尤推定量は一般に偏りを持ちますが、一致推定量です。逆に、不偏推定量でも分散が収束しなければ一致推定量ではありません。</p></div><p>したがって、答えは「一致推定量；$\lim_{n \to \infty} E[\hat{\theta}_n] = \theta$かつ$\lim_{n \to \infty} \text{Var}(\hat{\theta}_n) = 0$」です。</p>