一致推定量の定義と性質に関する問題です。
一致推定量の定義
推定量$\hat{\theta}_n$が母数$\theta$に一致するとき、$\hat{\theta}_n$を$\theta$の一致推定量と呼びます：
$\hat{\theta}_n \xrightarrow{P} \theta$ as $n \to \infty$
これは任意の$\varepsilon > 0$に対して：
$\lim_{n \to \infty} P(|\hat{\theta}_n - \theta| > \varepsilon) = 0$
1. 一致性の十分条件
推定量$\hat{\theta}_n$について、以下が成り立てば一致推定量です：
$\begin{cases}\lim_{n \to \infty} E[\hat{\theta}_n] = \theta \quad \text{（漸近不偏性）} \\\lim_{n \to \infty} \text{Var}(\hat{\theta}_n) = 0 \quad \text{（分散の収束）}\end{cases}$
2. チェビシェフの不等式による証明
上記条件が満たされるとき、チェビシェフの不等式より：
$P(|\hat{\theta}_n - \theta| > \varepsilon) \leq \frac{E[(\hat{\theta}_n - \theta)^2]}{\varepsilon^2}$
平均二乗誤差の分解：
$E[(\hat{\theta}_n - \theta)^2] = \text{Var}(\hat{\theta}_n) + [E[\hat{\theta}_n] - \theta]^2$
$n \to \infty$のとき、右辺は0に収束するため確率収束が示されます。
3. 一致推定量の例
- 標本平均$\bar{X}_n$は母平均$\mu$の一致推定量
- 標本分散$S_n^2$は母分散$\sigma^2$の一致推定量
- 最尤推定量は正則条件下で一致推定量
一致性と不偏性の関係
一致推定量は必ずしも不偏推定量ではありません。例えば、最尤推定量は一般に偏りを持ちますが、一致推定量です。逆に、不偏推定量でも分散が収束しなければ一致推定量ではありません。
したがって、答えは「一致推定量；$\lim_{n \to \infty} E[\hat{\theta}_n] = \theta$かつ$\lim_{n \to \infty} \text{Var}(\hat{\theta}_n) = 0$」です。