<p><strong>ベイズ推定</strong>における共役事前分布の性質を理解する問題です。</p><h4>共役事前分布とは</h4><p>事前分布と事後分布が同じ分布族に属するとき、その事前分布を共役事前分布と呼びます。</p><p class='step'>1. 二項分布の尤度関数</p><p>観測値$x$（$n$回中$x$回成功）に対する尤度：</p><div class='formula'>$L(p|x) = \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}
lt;/div><p class='step'>2. ベータ分布の事前分布</p><p>$p \sim \text{Beta}(\alpha, \beta)$の確率密度関数：</p><div class='formula'>$\pi(p) = \frac{\Gamma(\alpha + \beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} p^{\alpha-1} (1-p)^{\beta-1}
lt;/div><p class='step'>3. ベイズの定理による事後分布</p><p>事後分布は尤度と事前分布の積に比例：</p><div class='formula'>$\begin{align}\pi(p|x) &\propto L(p|x) \cdot \pi(p) \\&\propto p^x (1-p)^{n-x} \cdot p^{\alpha-1} (1-p)^{\beta-1} \\&= p^{x+\alpha-1} (1-p)^{n-x+\beta-1}\end{align}
lt;/div><p class='step'>4. 事後分布の同定</p><p>上式はベータ分布$\text{Beta}(\alpha + x, \beta + n - x)$の核（kernel）と一致します。</p><div class='key-point'><div class='key-point-title'>共役性の利点</div><ul><li>事後分布が解析的に求まる</li><li>逐次更新が可能</li><li>計算が簡単</li><li>事前情報の解釈が直感的</li></ul><p>$\alpha$は事前の「成功回数」、$\beta$は事前の「失敗回数」と解釈できます。</p></div><p>したがって、事後分布は$\text{Beta}(\alpha + x, \beta + n - x)$です。</p>