信頼区間の幅を計算する問題です。
信頼区間の構成
正規分布$N(\mu, \sigma^2)$（$\sigma^2$既知）からの標本に基づく$\mu$の$(1-\alpha)\times 100\%$信頼区間：
$\bar{X} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
1. 問題設定の整理
- 母分散：$\sigma^2 = 16$、したがって$\sigma = 4$
- 標本サイズ：$n = 25$
- 信頼水準：95%（$\alpha = 0.05$、$\alpha/2 = 0.025$）
- $z_{0.025} = 1.96$
2. 標準誤差の計算
$SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{4}{\sqrt{25}} = \frac{4}{5} = 0.8$
3. 誤差限界の計算
$E = z_{\alpha/2} \cdot SE = 1.96 \times 0.8 = 1.568$
4. 信頼区間の幅
信頼区間は$[\bar{X} - E, \bar{X} + E]$なので、幅は：
$\text{幅} = 2E = 2 \times 1.568 = 3.136$
信頼区間の幅に影響する要因
- 信頼水準が高いほど幅は広くなる
- 標本サイズが大きいほど幅は狭くなる
- 母標準偏差が大きいほど幅は広くなる
幅 = $2z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
したがって、95%信頼区間の幅は3.136です。