デルタ法を用いた推定量の漸近分散の導出問題です。
デルタ法の定理
$\sqrt{n}(\hat{\theta}_n - \theta) \xrightarrow{d} N(0, \sigma^2)$のとき、微分可能な関数$g$について：
$\sqrt{n}(g(\hat{\theta}_n) - g(\theta)) \xrightarrow{d} N(0, [g'(\theta)]^2 \sigma^2)$
1. 標本平均の漸近分布
中心極限定理により：
$\sqrt{n}(\bar{X} - \mu) \xrightarrow{d} N\left(0, \sigma^2\right)$
2. 関数$g$とその導関数
$g(\mu) = \mu^2$について：
$g'(\mu) = 2\mu$
3. デルタ法の適用
デルタ法により：
$\sqrt{n}(\bar{X}^2 - \mu^2) \xrightarrow{d} N\left(0, [g'(\mu)]^2 \sigma^2\right)$
$= N\left(0, (2\mu)^2 \sigma^2\right) = N\left(0, 4\mu^2\sigma^2\right)$
4. 漸近分散の導出
上式を変形すると：
$\bar{X}^2 - \mu^2 \xrightarrow{d} N\left(0, \frac{4\mu^2\sigma^2}{n}\right)$
したがって、$\bar{X}^2$の漸近分散は：
$\text{Var}(\bar{X}^2) \approx \frac{4\mu^2\sigma^2}{n}$
デルタ法の応用例
- 比率の推定：$g(p) = p/(1-p)$
- 対数変換：$g(\mu) = \log \mu$
- 平方根変換：$g(\mu) = \sqrt{\mu}$
- 逆数変換：$g(\mu) = 1/\mu$
各場合で$g'(\theta)$を計算してデルタ法を適用します。
したがって、$\bar{X}^2$の漸近分散は$\frac{4\mu^2\sigma^2}{n}$です。