<p><strong>デルタ法</strong>を用いた推定量の漸近分散の導出問題です。</p><h4>デルタ法の定理</h4><p>$\sqrt{n}(\hat{\theta}_n - \theta) \xrightarrow{d} N(0, \sigma^2)$のとき、微分可能な関数$g$について：</p><p class='formula'>$\sqrt{n}(g(\hat{\theta}_n) - g(\theta)) \xrightarrow{d} N(0, [g'(\theta)]^2 \sigma^2)
lt;/p><p class='step'>1. 標本平均の漸近分布</p><p>中心極限定理により：</p><div class='formula'>$\sqrt{n}(\bar{X} - \mu) \xrightarrow{d} N\left(0, \sigma^2\right)
lt;/div><p class='step'>2. 関数$g$とその導関数</p><p>$g(\mu) = \mu^2$について：</p><div class='formula'>$g'(\mu) = 2\mu
lt;/div><p class='step'>3. デルタ法の適用</p><p>デルタ法により：</p><div class='formula'>$\sqrt{n}(\bar{X}^2 - \mu^2) \xrightarrow{d} N\left(0, [g'(\mu)]^2 \sigma^2\right)
lt;/div><div class='formula'>$= N\left(0, (2\mu)^2 \sigma^2\right) = N\left(0, 4\mu^2\sigma^2\right)
lt;/div><p class='step'>4. 漸近分散の導出</p><p>上式を変形すると：</p><div class='formula'>$\bar{X}^2 - \mu^2 \xrightarrow{d} N\left(0, \frac{4\mu^2\sigma^2}{n}\right)
lt;/div><p>したがって、$\bar{X}^2$の漸近分散は：</p><div class='formula'>$\text{Var}(\bar{X}^2) \approx \frac{4\mu^2\sigma^2}{n}
lt;/div><div class='key-point'><div class='key-point-title'>デルタ法の応用例</div><ul><li>比率の推定：$g(p) = p/(1-p)
lt;/li><li>対数変換：$g(\mu) = \log \mu
lt;/li><li>平方根変換：$g(\mu) = \sqrt{\mu}
lt;/li><li>逆数変換：$g(\mu) = 1/\mu
lt;/li></ul><p>各場合で$g'(\theta)$を計算してデルタ法を適用します。</p></div><p>したがって、$\bar{X}^2$の漸近分散は$\frac{4\mu^2\sigma^2}{n}$です。</p>