青の統計学-DS Playground-
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最尤法、モーメント法、不偏性、一致性、十分性、有効性、区間推定など統計検定準1級レベルの推定理論
正規分布$N(\mu, \sigma^2)$からの大標本について、$\mu=2$、$\sigma^2=9$、$n=100$とする。$g(\mu)=\mu^2$の推定量$g(\bar{X})=\bar{X}^2$の漸近分散をデルタ法により求めよ。小数第2位まで答えよ（小数第3位を四捨五入すること）。
デルタ法を用いて$\bar{X}^2$の漸近分散を求めます。
1. 標本平均の漸近分布
$\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)\xrightarrow{d}N(0,\sigma^2)$
2. デルタ法
$g(\mu)=\mu^2$なので、$g'(\mu)=2\mu$です。したがって、
$\operatorname{Avar}(g(\bar{X}))=\frac{[g'(\mu)]^2\sigma^2}{n}=\frac{4\mu^2\sigma^2}{n}$
3. 数値の代入
$\frac{4\times2^2\times9}{100}=\frac{144}{100}=1.44$
したがって、$\bar{X}^2$の漸近分散は1.44です。