<p><strong>経験分布関数</strong>と<strong>グリベンコ・カンテリの定理</strong>に関する問題です。</p><h4>経験分布関数の定義</h4><p>標本$X_1, \ldots, X_n$に対する経験分布関数：</p><p class='formula'>$F_n(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \mathbf{1}_{\{X_i \leq x\}}
lt;/p><p>ここで$\mathbf{1}_{\{X_i \leq x\}}$は指示関数です。</p><p class='step'>1. 各点での収束（選択肢1）</p><p>固定された$x$について、大数の強法則により：</p><div class='formula'>$F_n(x) \xrightarrow{a.s.} E[\mathbf{1}_{\{X_1 \leq x\}}] = P(X_1 \leq x) = F(x)
lt;/div><p>これは各点での収束ですが、一様収束ではありません。</p><p class='step'>2. グリベンコ・カンテリの定理（選択肢2）</p><p>この定理は経験分布関数の一様強収束を保証します：</p><div class='formula'>$\sup_x |F_n(x) - F(x)| \xrightarrow{a.s.} 0
lt;/div><p>これは確率収束$\xrightarrow{P}$よりも強い概念である概ね確実収束$\xrightarrow{a.s.}$を含意します。</p><p class='step'>3. ドンスカーの定理（選択肢3）</p><p>これは経験過程の中心極限定理で、別の定理です：</p><div class='formula'>$\sqrt{n}(F_n(x) - F(x)) \xrightarrow{d} \text{Gaussian process}
lt;/div><p class='step'>4. 不偏性と最尤性（選択肢4, 5）</p><p>$E[F_n(x)] = F(x)$なので不偏推定量ですが、これは基本的性質であり、グリベンコ・カンテリの定理の内容ではありません。</p><div class='key-point'><div class='key-point-title'>一様収束</div><p>グリベンコ・カンテリの定理の特徴は、すべての$x$について同時に収束することです。これにより：</p><ul><li>分位数の一致推定</li><li>分布の形状の推定</li><li>ノンパラメトリック統計の基礎</li></ul><p>が理論的に保証されます。</p></div><p>したがって、グリベンコ・カンテリの定理は「$\sup_x |F_n(x) - F(x)| \xrightarrow{P} 0$」を述べています。</p>