尤度比検定統計量の計算
正規分布$N(\\mu, 1)$における尤度比検定統計量を段階的に計算します。
尤度関数の構築
Step 1: 正規分布の尤度関数
標本$(X_1, X_2, X_3) = (2, 3, 4)$に対する尤度関数：
$L(\\mu) = \\prod_{i=1}^3 \\frac{1}{\\sqrt{2\\pi}} \\exp\\left(-\\frac{(x_i - \\mu)^2}{2}\\right)$
$= \\frac{1}{(2\\pi)^{3/2}} \\exp\\left(-\\frac{1}{2}\\sum_{i=1}^3 (x_i - \\mu)^2\\right)$
Step 2: 各仮説での尤度計算
帰無仮説$H_0: \\mu = 2$の場合：
$\\sum_{i=1}^3 (x_i - 2)^2 = (2-2)^2 + (3-2)^2 + (4-2)^2 = 0 + 1 + 4 = 5$
$L(\\mu_0 = 2) = \\frac{1}{(2\\pi)^{3/2}} \\exp\\left(-\\frac{5}{2}\\right)$
対立仮説$H_1: \\mu = 3$の場合：
$\\sum_{i=1}^3 (x_i - 3)^2 = (2-3)^2 + (3-3)^2 + (4-3)^2 = 1 + 0 + 1 = 2$
$L(\\mu_1 = 3) = \\frac{1}{(2\\pi)^{3/2}} \\exp\\left(-\\frac{2}{2}\\right) = \\frac{1}{(2\\pi)^{3/2}} \\exp(-1)$
尤度比統計量の計算
Step 3: 尤度比の導出
$\\Lambda = \\frac{L(\\mu_0)}{L(\\mu_1)} = \\frac{\\frac{1}{(2\\pi)^{3/2}} \\exp\\left(-\\frac{5}{2}\\right)}{\\frac{1}{(2\\pi)^{3/2}} \\exp(-1)}$
$= \\frac{\\exp\\left(-\\frac{5}{2}\\right)}{\\exp(-1)} = \\exp\\left(-\\frac{5}{2} + 1\\right) = \\exp\\left(-\\frac{5}{2} + \\frac{2}{2}\\right)$
$= \\exp\\left(-\\frac{3}{2}\\right) = e^{-1.5}$
尤度比検定の特性
- 最適性：ネイマン・ピアソンの補題による最強力性
- 直感性：仮説間の尤度比較による判定
- 一般性：様々な分布・仮説設定に適用可能
- 理論的基礎：ウィルクスの定理による漸近分布