尤度比検定統計量の計算
正規分布$N(\mu, 1)$における尤度比検定統計量を段階的に計算します。
尤度関数の構築
Step 1: 正規分布の尤度関数
標本$(X_1, X_2, X_3) = (2, 3, 4)$に対する尤度関数：
$L(\mu) = \prod_{i=1}^3 \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{(x_i - \mu)^2}{2}\right)$
$= \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \exp\left(-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^3 (x_i - \mu)^2\right)$
Step 2: 各仮説での尤度計算
帰無仮説$H_0: \mu = 2$の場合：
$\sum_{i=1}^3 (x_i - 2)^2 = (2-2)^2 + (3-2)^2 + (4-2)^2 = 0 + 1 + 4 = 5$
$L(\mu_0 = 2) = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \exp\left(-\frac{5}{2}\right)$
対立仮説$H_1: \mu = 3$の場合：
$\sum_{i=1}^3 (x_i - 3)^2 = (2-3)^2 + (3-3)^2 + (4-3)^2 = 1 + 0 + 1 = 2$
$L(\mu_1 = 3) = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \exp\left(-\frac{2}{2}\right) = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \exp(-1)$
尤度比統計量の計算
Step 3: 尤度比の導出
$\Lambda = \frac{L(\mu_0)}{L(\mu_1)} = \frac{\frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \exp\left(-\frac{5}{2}\right)}{\frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \exp(-1)}$
$= \frac{\exp\left(-\frac{5}{2}\right)}{\exp(-1)} = \exp\left(-\frac{5}{2} + 1\right) = \exp\left(-\frac{5}{2} + \frac{2}{2}\right)$
$= \exp\left(-\frac{3}{2}\right) = e^{-1.5}$
尤度比検定の特性
- 最適性：ネイマン・ピアソンの補題による最強力性
- 直感性：仮説間の尤度比較による判定
- 一般性：様々な分布・仮説設定に適用可能
- 理論的基礎：ウィルクスの定理による漸近分布