ワルド検定統計量の計算

ワルド検定統計量の計算レベル1

回帰モデル$Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \varepsilon_i$において、最尤推定量が$\hat{\beta_1} = 0.8$、その標準誤差が$\text{se}(\hat{\beta_1}) = 0.2$であった。仮説$H_0: \beta_1 = 0.5$に対するワルド検定統計量$W$を計算せよ。

解説

単一パラメータに対する仮説検定におけるワルド統計量を計算します。

ワルド検定の理論的基礎

Step 1: ワルド統計量の定義

パラメータ$\theta$に対する仮説$H_0: \theta = \theta_0$のワルド統計量：

$W = \frac{(\hat{\theta} - \theta_0)^2}{\text{Var}(\hat{\theta})}$

ここで、$\hat{\theta}$は最尤推定量、$\text{Var}(\hat{\theta})$はその分散です。

Step 2: 本問題への適用

与えられた情報：

最尤推定量：$\hat{\beta_1} = 0.8$
標準誤差：$\text{se}(\hat{\beta_1}) = 0.2$
帰無仮説：$H_0: \beta_1 = 0.5$

ワルド統計量の計算

Step 3: 推定値と仮説値の差

$\hat{\beta_1} - \beta_{1,0} = 0.8 - 0.5 = 0.3$

Step 4: 分散の計算

標準誤差から分散を求める：

$\text{Var}(\hat{\beta_1}) = [\text{se}(\hat{\beta_1})]^2 = (0.2)^2 = 0.04$

Step 5: ワルド統計量の計算

$W = \frac{(\hat{\beta_1} - \beta_{1,0})^2}{\text{Var}(\hat{\beta_1})} = \frac{(0.3)^2}{0.04} = \frac{0.09}{0.04} = 2.25$

検定統計量の分布と判定

Step 6: 漸近分布

大標本において、帰無仮説の下でワルド統計量は：

$W \xrightarrow{d} \chi^2_1$

自由度1のカイ二乗分布に従います。

ワルド検定の特徴

計算簡便性：制約なし推定量のみで構成
直感的解釈：推定値と仮説値の「距離」の二乗
標準化：分散で正規化することで分布が決定
一般性：線形・非線形制約に拡張可能

臨界値との比較

Step 7: 有意水準5%での判定

$\chi^2_1$分布の95%点は約3.84なので：

$W = 2.25 < 3.84$：帰無仮説を棄却しない
つまり、$\beta_1 = 0.5$という仮説は5%水準で棄却されない

Step 8: t検定との関係

単一パラメータの場合、ワルド検定はt検定の二乗に等しい：

$t = \frac{\hat{\beta_1} - \beta_{1,0}}{\text{se}(\hat{\beta_1})} = \frac{0.3}{0.2} = 1.5$

$W = t^2 = (1.5)^2 = 2.25$

したがって、ワルド統計量$W = 2.25$です。