<h4>ワルド検定統計量の計算</h4><p>単一パラメータに対する仮説検定におけるワルド統計量を計算します。</p><h4>ワルド検定の理論的基礎</h4><p class='step'><strong>Step 1: ワルド統計量の定義</strong></p><p>パラメータ$\theta$に対する仮説$H_0: \theta = \theta_0$のワルド統計量：</p><div class='formula'>$W = \frac{(\hat{\theta} - \theta_0)^2}{\text{Var}(\hat{\theta})}
lt;/div><p>ここで、$\hat{\theta}$は最尤推定量、$\text{Var}(\hat{\theta})$はその分散です。</p><p class='step'><strong>Step 2: 本問題への適用</strong></p><p>与えられた情報：</p><ul><li>最尤推定量：$\hat{\beta_1} = 0.8
lt;/li><li>標準誤差：$\text{se}(\hat{\beta_1}) = 0.2
lt;/li><li>帰無仮説：$H_0: \beta_1 = 0.5
lt;/li></ul><h4>ワルド統計量の計算</h4><p class='step'><strong>Step 3: 推定値と仮説値の差</strong></p><div class='formula'>$\hat{\beta_1} - \beta_{1,0} = 0.8 - 0.5 = 0.3
lt;/div><p class='step'><strong>Step 4: 分散の計算</strong></p><p>標準誤差から分散を求める：</p><div class='formula'>$\text{Var}(\hat{\beta_1}) = [\text{se}(\hat{\beta_1})]^2 = (0.2)^2 = 0.04
lt;/div><p class='step'><strong>Step 5: ワルド統計量の計算</strong></p><div class='formula'>$W = \frac{(\hat{\beta_1} - \beta_{1,0})^2}{\text{Var}(\hat{\beta_1})} = \frac{(0.3)^2}{0.04} = \frac{0.09}{0.04} = 2.25
lt;/div><h4>検定統計量の分布と判定</h4><p class='step'><strong>Step 6: 漸近分布</strong></p><p>大標本において、帰無仮説の下でワルド統計量は：</p><div class='formula'>$W \xrightarrow{d} \chi^2_1
lt;/div><p>自由度1のカイ二乗分布に従います。</p><div class='key-point'><div class='key-point-title'>ワルド検定の特徴</div><ul><li><strong>計算簡便性</strong>：制約なし推定量のみで構成</li><li><strong>直感的解釈</strong>：推定値と仮説値の「距離」の二乗</li><li><strong>標準化</strong>：分散で正規化することで分布が決定</li><li><strong>一般性</strong>：線形・非線形制約に拡張可能</li></ul></div><h4>臨界値との比較</h4><p class='step'><strong>Step 7: 有意水準5%での判定</strong></p><p>$\chi^2_1$分布の95%点は約3.84なので：</p><ul><li>$W = 2.25 < 3.84$：帰無仮説を棄却しない</li><li>つまり、$\beta_1 = 0.5$という仮説は5%水準で棄却されない</li></ul><p class='step'><strong>Step 8: t検定との関係</strong></p><p>単一パラメータの場合、ワルド検定はt検定の二乗に等しい：</p><div class='formula'>$t = \frac{\hat{\beta_1} - \beta_{1,0}}{\text{se}(\hat{\beta_1})} = \frac{0.3}{0.2} = 1.5
lt;/div><div class='formula'>$W = t^2 = (1.5)^2 = 2.25
lt;/div><p>したがって、ワルド統計量$W = 2.25$です。</p>