スコア検定統計量の計算
ポアソン分布における仮説検定でのスコア検定統計量を段階的に計算します。
スコア検定の理論的基礎
Step 1: スコア関数の導出
ポアソン分布の対数尤度関数：
$\ell(\lambda) = \sum_{i=1}^n x_i \log \lambda - n\lambda - \sum_{i=1}^n \log(x_i!)$
スコア関数（一階微分）：
$S(\lambda) = \frac{\partial \ell(\lambda)}{\partial \lambda} = \frac{\sum x_i}{\lambda} - n$
Step 2: フィッシャー情報行列
ポアソン分布のフィッシャー情報：
$I(\lambda) = -E\left[\frac{\partial^2 \ell(\lambda)}{\partial \lambda^2}\right] = \frac{n}{\lambda}$
データによる具体的計算
Step 3: 観測値の整理
標本：$x_1 = 2, x_2 = 3, x_3 = 1$
- 標本サイズ：$n = 3$
- 標本合計：$\sum x_i = 2 + 3 + 1 = 6$
- 帰無仮説：$H_0: \lambda = 1.5$
Step 4: 制約下でのスコア関数の値
$\lambda = 1.5$におけるスコア関数：
$S(1.5) = \frac{\sum x_i}{\lambda} - n = \frac{6}{1.5} - 3 = 4 - 3 = 1$
Step 5: フィッシャー情報の計算
$\lambda = 1.5$におけるフィッシャー情報：
$I(1.5) = \frac{n}{\lambda} = \frac{3}{1.5} = 2$
スコア検定統計量の計算
Step 6: スコア検定統計量の構築
スコア検定統計量の一般形：
$LM = S(\lambda_0)' \cdot [I(\lambda_0)]^{-1} \cdot S(\lambda_0)$
単一パラメータの場合：
$LM = \frac{[S(\lambda_0)]^2}{I(\lambda_0)}$
Step 7: 数値計算
$LM = \frac{[S(1.5)]^2}{I(1.5)} = \frac{1^2}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$
スコア検定の特徴
- 制約下推定：帰無仮説下での推定値のみ使用
- 計算効率：制約なし最尤推定が不要
- 漸近分布：$\chi^2$分布に従う
- 理論的優美性：ラグランジュ乗数法との関連
漸近分布と判定
Step 9: 統計的推論
大標本において、帰無仮説の下でスコア統計量は：
$LM \xrightarrow{d} \chi^2_1$
自由度1のカイ二乗分布の95%点は約3.84なので：
- $LM = 1.5 < 3.84$：帰無仮説を棄却しない
- つまり、$\lambda = 1.5$という仮説は5%水準で棄却されない
したがって、スコア検定統計量$LM = 1.5$となります。