<h4>ネイマン・ピアソンの補題の数学的定式化</h4><p>単純仮説$H_0: \theta = \theta_0$対単純仮説$H_1: \theta = \theta_1$の検定において、サイズ$\alpha$の最強力検定は以下の形式を持ちます：</p><div class='formula'>$\phi(x) = \begin{cases}1 & \text{if } \frac{f(x|\theta_1)}{f(x|\theta_0)} > k \\\gamma & \text{if } \frac{f(x|\theta_1)}{f(x|\theta_0)} = k \\0 & \text{if } \frac{f(x|\theta_1)}{f(x|\theta_0)} < k\end{cases}
lt;/div><p>ここで$k$と$\gamma$は$E_{\theta_0}[\phi(X)] = \alpha$を満たすように選ばれる定数です。</p><h4>補題の証明の概要</h4><p class='step'><strong>Step 1: 最適化問題の設定</strong></p><p>検出力$\beta = E_{\theta_1}[\phi(X)]$を最大化する問題：</p><div class='formula'>$\max_{\phi} E_{\theta_1}[\phi(X)] \quad \text{subject to} \quad E_{\theta_0}[\phi(X)] \leq \alpha
lt;/div><p class='step'><strong>Step 2: ラグランジュ乗数法の適用</strong></p><p>ラグランジュ関数：</p><div class='formula'>$L = \int \phi(x) f(x|\theta_1) dx - \lambda \left(\int \phi(x) f(x|\theta_0) dx - \alpha\right)
lt;/div><p class='step'><strong>Step 3: 変分法による最適解</strong></p><p>各点$x$で$\phi(x)$を最適化：</p><div class='formula'>$\frac{\partial}{\partial \phi(x)} [\phi(x) f(x|\theta_1) - \lambda \phi(x) f(x|\theta_0)] = f(x|\theta_1) - \lambda f(x|\theta_0)
lt;/div><p>最適解の条件：</p><div class='formula'>$\phi^*(x) = \begin{cases}1 & \text{if } f(x|\theta_1) - \lambda f(x|\theta_0) > 0 \\0 & \text{if } f(x|\theta_1) - \lambda f(x|\theta_0) < 0\end{cases}
lt;/div><h4>尤度比検定との関係</h4><p class='step'><strong>Step 4: 尤度比形式への変換</strong></p><p>$f(x|\theta_1) - \lambda f(x|\theta_0) > 0$は以下と等価：</p><div class='formula'>$\frac{f(x|\theta_1)}{f(x|\theta_0)} > \lambda
lt;/div><p>これは尤度比検定の形式そのものです。</p><h4>一様最強力性の概念</h4><div class='key-point'><div class='key-point-title'>ネイマン・ピアソン理論の意義</div><ul><li><strong>最適性の保証</strong>：サイズ制約下での検出力最大化</li><li><strong>尤度比の正当化</strong>：直感的な尤度比検定の理論的根拠</li><li><strong>統計的決定理論</strong>：現代統計学の基礎理論</li><li><strong>仮説検定の統一</strong>：多くの古典的検定の最適性</li><li><strong>ベイズ統計との橋渡し</strong>：事前分布を考慮した拡張</li></ul></div><h4>複合仮説への拡張の困難性</h4><p class='step'><strong>Step 5: 複合仮説の問題</strong></p><p>複合仮説$H_0: \theta \in \Theta_0$対$H_1: \theta \in \Theta_1$では、一般に一様最強力検定は存在しません。これは：</p><ul><li>異なる$\theta_1 \in \Theta_1$に対して異なる最適検定が存在</li><li>すべての対立仮説に対して同時に最強力となる検定は稀</li><li>不偏検定や不変検定などの追加制約が必要</li></ul><h4>実用的な意味</h4><p class='step'><strong>Step 6: 統計的実践への影響</strong></p><table class='table table-bordered'><tr><th>検定の種類</th><th>最適性</th><th>実用性</th></tr><tr><td>t検定</td><td>UMP（正規分布仮定下）</td><td>高</td></tr><tr><td>F検定</td><td>UMP不偏</td><td>高</td></tr><tr><td>カイ二乗検定</td><td>漸近最適</td><td>高</td></tr><tr><td>ノンパラメトリック検定</td><td>局所最適</td><td>中</td></tr></table><p>したがって、「単純仮説対単純仮説の検定において、尤度比検定は一様最強力検定である」が正しい記述です。</p>