<h4>ブートストラップ法の数学的基礎</h4><p>ブートストラップ法は、観測標本から復元抽出により多数の再標本を生成し、統計量の分布を近似する非パラメトリック手法です。</p><div class='formula'>$\hat{F}_n(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \mathbf{1}_{\{X_i \leq x\}}
lt;/div><p>経験分布$\hat{F}_n$から$B$個のブートストラップ標本を生成します。</p><h4>パーセンタイル法の理論的根拠</h4><p class='step'><strong>Step 1: ブートストラップ統計量の定義</strong></p><p>元標本$(X_1, X_2, \ldots, X_n)$から$B$個のブートストラップ標本を生成：</p><div class='formula'>$\mathbf{X}^{*(b)} = (X_1^{*(b)}, X_2^{*(b)}, \ldots, X_n^{*(b)}) \quad (b = 1, 2, \ldots, B)
lt;/div><p>各ブートストラップ標本から統計量を計算：</p><div class='formula'>$\hat{\theta}^{*(b)} = T(\mathbf{X}^{*(b)})
lt;/div><p class='step'><strong>Step 2: パーセンタイル信頼区間の構成原理</strong></p><p>ブートストラップ統計量$\hat{\theta}^{*(1)}, \hat{\theta}^{*(2)}, \ldots, \hat{\theta}^{*(B)}$を昇順に並べ替え：</p><div class='formula'>$\hat{\theta}^{*}_{(1)} \leq \hat{\theta}^{*}_{(2)} \leq \cdots \leq \hat{\theta}^{*}_{(B)}
lt;/div><p>$(1-\alpha) \times 100\%$信頼区間は：</p><div class='formula'>$[\hat{\theta}^{*}_{(\lceil B \alpha/2 \rceil)}, \hat{\theta}^{*}_{(\lfloor B (1-\alpha/2) \rfloor)}]
lt;/div><h4>95%信頼区間の具体的計算</h4><p class='step'><strong>Step 3: パーセンタイル点の決定</strong></p><p>信頼水準95%（$\alpha = 0.05$）の場合：</p><ul><li>下側パーセンタイル：$\alpha/2 = 0.025
lt;/li><li>上側パーセンタイル：$1 - \alpha/2 = 0.975
lt;/li></ul><p class='step'><strong>Step 4: 順位統計量の計算</strong></p><p>$B = 1000$個のブートストラップ統計量について：</p><div class='formula'>$\begin{align}\text{下限の順位} &= \lceil B \times 0.025 \rceil = \lceil 1000 \times 0.025 \rceil = \lceil 25 \rceil = 25 \\\text{上限の順位} &= \lfloor B \times 0.975 \rfloor = \lfloor 1000 \times 0.975 \rfloor = \lfloor 975 \rfloor = 975\end{align}
lt;/div><h4>ブートストラップ信頼区間の種類と比較</h4><div class='key-point'><div class='key-point-title'>ブートストラップ信頼区間の分類</div><p><strong>基本的手法</strong>：</p><ul><li><strong>パーセンタイル法</strong>：単純、変換不変性あり</li><li><strong>基本ブートストラップ法</strong>：対称性を仮定</li></ul><p><strong>改良手法</strong>：</p><ul><li><strong>バイアス補正法（BC）</strong>：推定量のバイアスを補正</li><li><strong>BCa法</strong>：バイアス補正と加速度補正</li><li><strong>ブートストラップt法</strong>：スチューデント化による改良</li></ul></div><p class='step'><strong>Step 5: パーセンタイル法の理論的性質</strong></p><p>パーセンタイル法の信頼区間は以下の性質を持ちます：</p><ul><li><strong>変換不変性</strong>：単調変換に対して不変</li><li><strong>範囲保存性</strong>：パラメータの定義域を保持</li><li><strong>計算簡便性</strong>：追加の推定が不要</li></ul><p>ただし、推定量にバイアスがある場合や分布が非対称の場合、被覆確率が名目水準から乖離する可能性があります。</p><p class='step'><strong>Step 6: 実装上の考慮事項</strong></p><table class='table table-bordered'><tr><th>ブートストラップ標本数$B
lt;/th><th>推奨用途</th><th>計算精度</th></tr><tr><td>$B = 200
lt;/td><td>探索的分析</td><td>粗い近似</td></tr><tr><td>$B = 1000
lt;/td><td>一般的な推論</td><td>実用的精度</td></tr><tr><td>$B = 2000
lt;/td><td>信頼区間構成</td><td>高精度</td></tr><tr><td>$B \geq 5000
lt;/td><td>意思決定</td><td>非常に高精度</td></tr></table><p>したがって、$B=1000$のブートストラップ標本から95%信頼区間を構成する場合、下限は25番目の値になります。</p>