統計的推測（検定）

仮説検定の基本概念、検定統計量の分布、有意水準と検出力、多重比較など統計検定準1級レベルの検定理論

母比率の差の検定レベル1

2つの独立な標本から母比率の差を検定する。標本1：成功数$x_1 = 18$、標本サイズ$n_1 = 50$、標本2：成功数$x_2 = 12$、標本サイズ$n_2 = 40$が得られた。仮説$H_0: p_1 = p_2$に対する検定統計量$Z$を計算せよ。小数第2位まで求めよ。

解説

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2つの独立な標本から得られた比率の差について、正規近似を用いた検定を行います。

Step 1: 標本比率の計算

各標本から標本比率を計算：

$\hat{p}_1 = \frac{x_1}{n_1} = \frac{18}{50} = 0.36$

$\hat{p}_2 = \frac{x_2}{n_2} = \frac{12}{40} = 0.30$

Step 2: 帰無仮説の下での共通比率の推定

帰無仮説$H_0: p_1 = p_2 = p$の下で、共通比率$p$を最尤推定：

$\hat{p} = \frac{x_1 + x_2}{n_1 + n_2} = \frac{18 + 12}{50 + 40} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3} \approx 0.3333$

Step 3: 標準誤差の計算

比率の差の標準誤差：

$SE(\hat{p}_1 - \hat{p}_2) = \sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})\left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)}$

$= \sqrt{\frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \times \left(\frac{1}{50} + \frac{1}{40}\right)}$

$= \sqrt{\frac{2}{9} \times \left(\frac{1}{50} + \frac{1}{40}\right)}$

Step 4: 分母の詳細計算

分母の計算：

$\frac{1}{50} + \frac{1}{40} = \frac{4}{200} + \frac{5}{200} = \frac{9}{200} = 0.045$

$SE = \sqrt{\frac{2}{9} \times 0.045} = \sqrt{\frac{2 \times 0.045}{9}} = \sqrt{\frac{0.09}{9}} = \sqrt{0.01} = 0.1$

Step 5: Z統計量の算出

検定統計量$Z$は以下のように計算：

$Z = \frac{\hat{p}_1 - \hat{p}_2}{SE(\hat{p}_1 - \hat{p}_2)} = \frac{0.36 - 0.30}{0.1} = \frac{0.06}{0.1} = 0.6$

母比率の差の検定の特徴

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