モデル選択における情報量規準の比較 - モデル選択・評価問題9

モデル選択における情報量規準の比較レベル1

線形回帰モデルにおいて、サンプルサイズn=100のデータに対して3つのモデルを比較した。各モデルの最大対数尤度とパラメータ数は以下の通りである。どのモデルがAICで最も良いか。モデル1: 対数尤度 = -45.2, パラメータ数 = 3 モデル2: 対数尤度 = -42.8, パラメータ数 = 5 モデル3: 対数尤度 = -44.1, パラメータ数 = 4

解説

解答と解説を表示

この問題では、実際のデータに基づくモデル選択において、AICを用いた定量的な比較方法について理解を深めます。<h4>AICを用いたモデル比較の実践</h4>AICは「相対的な比較」に意味があり、複数のモデル間で最も小さな値を持つモデルが最適とされます。Step 1: 各モデルのAIC計算AICの定義式：$\text{AIC} = -2 \ln L + 2k

lt;/p>モデル1の計算：<div class='formula'>$\text{AIC}_1 = -2 \times (-45.2) + 2 \times 3 = 90.4 + 6 = 96.4$

モデル2の計算：

$\text{AIC}_2 = -2 \times (-42.8) + 2 \times 5 = 85.6 + 10 = 95.6$

モデル3の計算：

$\text{AIC}_3 = -2 \times (-44.1) + 2 \times 4 = 88.2 + 8 = 96.2$

AIC比較結果

モデル	対数尤度	パラメータ数	AIC	順位
モデル1	-45.2	3	96.4	3位
モデル2	-42.8	5	95.6	1位
モデル3	-44.1	4	96.2	2位

Step 2: 結果の詳細解釈

最良モデル：モデル2（AIC = 95.6）

モデル2が最も低いAIC値を持つため、予測性能の観点から最適なモデルです。

AIC差による実用的解釈：

モデル2 vs モデル3：差 = 96.2 - 95.6 = 0.6
モデル2 vs モデル1：差 = 96.4 - 95.6 = 0.8

Step 3: AIC差の実用的意味

AIC差の一般的な解釈基準：

差 < 2：実質的に同程度の性能
2 ≤ 差 < 4：やや差がある
4 ≤ 差 < 7：かなり差がある
差 ≥ 10：決定的な差

この場合、差が0.6〜0.8と小さいため、3つのモデルは実質的に同程度の性能と言えます。

Step 4: モデル複雑性の影響分析

複雑性 vs 適合度のトレードオフ：

モデル2：最も複雑（パラメータ5個）だが最高の適合度
モデル1：最も単純（パラメータ3個）だが適合度は最低
モデル3：中間的な複雑性と適合度

モデル2では、追加パラメータによる複雑性増加を上回る適合度向上が得られています。

Step 5: BICでの比較（参考）

BIC = $-2 \ln L + k \ln n$で同じデータを評価した場合：

$\text{BIC}_1 = 90.4 + 3 \times \ln(100) = 90.4 + 13.8 = 104.2$

$\text{BIC}_2 = 85.6 + 5 \times \ln(100) = 85.6 + 23.0 = 108.6$

$\text{BIC}_3 = 88.2 + 4 \times \ln(100) = 88.2 + 18.4 = 106.6$</div>BICではモデル1が最良となり、AICとは異なる結果になります。これはBICがより強いペナルティを課すためです。<h4>実践的な意思決定指針</h4>Step 6: 総合的な判断AICを選ぶべき場面：<ul><li>予測重視：新しいデータの予測精度を最大化したい</li><li>説明変数の保持：重要な変数を落としたくない</li><li>探索的分析：変数選択の初期段階</li></ul>BICを選ぶべき場面：<ul><li>解釈重視：シンプルで理解しやすいモデルが欲しい</li><li>真のモデル特定：因果関係の解明が目的</li><li>大サンプル：データが豊富でより確実な選択を求める</li></ul>実践的なアドバイス： この例では、AIC差が小さいため、どのモデルを選んでも大きな違いはありません。このような場合は、解釈のしやすさ、計算コスト、理論的背景なども考慮して最終的な選択を行うことが重要です。また、交差検証による性能確認も併用することを推奨します。