因子分析の共通性計算 - 多変量解析問題2/20

因子分析の共通性計算レベル2

3変数の因子分析において、因子負荷行列が以下で与えられている。変数$X_1$の共通性$h_1^2$を求めよ。$$\mathbf{L} = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.3 \\ 0.6 & 0.4 \\ 0.7 & -0.2 \end{pmatrix}$$

解説

共通性の定義と意味

共通性（Communality）は、各観測変数の分散のうち、共通因子によって説明される部分の割合を表します。これは因子分析における最も重要な概念の一つで、変数がどの程度因子構造に適合しているかを示す指標です。

Step 1: 因子分析モデルの復習

因子分析の基本モデル：

$X_i = \lambda_{i1}F_1 + \lambda_{i2}F_2 + \cdots + \lambda_{im}F_m + \epsilon_i$

ここで：

Step 2: 分散の分解

変数$X_i$の分散は以下のように分解されます：

$\text{Var}(X_i) = \underbrace{\sum_{j=1}^{m} \lambda_{ij}^2}_{\text{共通性 } h_i^2} + \underbrace{\psi_i}_{\text{独自性}}$

変数$i$の共通性は、その変数の因子負荷量の2乗和として計算されます：

$h_i^2 = \sum_{j=1}^{m} \lambda_{ij}^2$

Step 3: 与えられた因子負荷行列

因子負荷行列：

$\mathbf{L} = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.3 \\ 0.6 & 0.4 \\ 0.7 & -0.2 \end{pmatrix}$

各行は変数に対応し、各列は因子に対応します：

Step 4: 変数$X_1$の共通性計算

変数$X_1$の共通性：

$h_1^2 = \lambda_{11}^2 + \lambda_{12}^2$

$h_1^2 = (0.8)^2 + (0.3)^2$

$h_1^2 = 0.64 + 0.09 = 0.73$

Step 5: 結果の解釈

参考として、他の変数の共通性も計算してみます：

変数$X_1$が最も高い共通性を持ち、因子構造に良く適合していることがわかります。