<h4>因子分析における共通性の計算</h4><div class='key-point'><div class='key-point-title'>共通性の定義と意味</div><p>共通性（Communality）は、各観測変数の分散のうち、共通因子によって説明される部分の割合を表します。これは因子分析における最も重要な概念の一つで、変数がどの程度因子構造に適合しているかを示す指標です。</p></div><h4>共通性の計算手順</h4><p class='step'><strong>Step 1: 因子分析モデルの復習</strong></p><p>因子分析の基本モデル：</p><div class='formula'>$X_i = \lambda_{i1}F_1 + \lambda_{i2}F_2 + \cdots + \lambda_{im}F_m + \epsilon_i
lt;/div><p>ここで：</p><ul><li>$\lambda_{ij}$：変数$i$の因子$j$に対する負荷量</li><li>$F_j$：共通因子（標準化されている）</li><li>$\epsilon_i$：独自因子（変数$i$固有の部分）</li></ul><p class='step'><strong>Step 2: 分散の分解</strong></p><p>変数$X_i$の分散は以下のように分解されます：</p><div class='formula'>$\text{Var}(X_i) = \underbrace{\sum_{j=1}^{m} \lambda_{ij}^2}_{\text{共通性 } h_i^2} + \underbrace{\psi_i}_{\text{独自性}}
lt;/div><div class='key-point'><h4>共通性の公式</h4><p>変数$i$の共通性は、その変数の因子負荷量の2乗和として計算されます：</p><div class='formula'>$h_i^2 = \sum_{j=1}^{m} \lambda_{ij}^2
lt;/div></div><p class='step'><strong>Step 3: 与えられた因子負荷行列</strong></p><p>因子負荷行列：</p><div class='formula'>$\mathbf{L} = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.3 \\ 0.6 & 0.4 \\ 0.7 & -0.2 \end{pmatrix}
lt;/div><p>各行は変数に対応し、各列は因子に対応します：</p><ul><li><strong>変数$X_1
lt;/strong>：第1因子負荷量 = 0.8、第2因子負荷量 = 0.3</li><li><strong>変数$X_2
lt;/strong>：第1因子負荷量 = 0.6、第2因子負荷量 = 0.4</li><li><strong>変数$X_3
lt;/strong>：第1因子負荷量 = 0.7、第2因子負荷量 = -0.2</li></ul><p class='step'><strong>Step 4: 変数$X_1$の共通性計算</strong></p><p>変数$X_1$の共通性：</p><div class='formula'>$h_1^2 = \lambda_{11}^2 + \lambda_{12}^2
lt;/div><div class='formula'>$h_1^2 = (0.8)^2 + (0.3)^2
lt;/div><div class='formula'>$h_1^2 = 0.64 + 0.09 = 0.73
lt;/div><p class='step'><strong>Step 5: 結果の解釈</strong></p><div class='key-point'><h4>共通性の意味</h4><table class='table table-bordered'><tr><th>項目</th><th>値</th><th>解釈</th></tr><tr><td><strong>共通性</strong></td><td>$h_1^2 = 0.73
lt;/td><td>変数$X_1$の分散の73%が共通因子で説明</td></tr><tr><td><strong>独自性</strong></td><td>$\psi_1 = 0.27
lt;/td><td>変数$X_1$の分散の27%が独自因子（誤差含む）</td></tr><tr><td><strong>第1因子寄与</strong></td><td>$0.64/0.73 = 87.7\%
lt;/td><td>共通性の大部分を第1因子が説明</td></tr></table></div><h4>他変数との比較</h4><p>参考として、他の変数の共通性も計算してみます：</p><ul><li><strong>変数$X_2
lt;/strong>：$h_2^2 = (0.6)^2 + (0.4)^2 = 0.36 + 0.16 = 0.52
lt;/li><li><strong>変数$X_3
lt;/strong>：$h_3^2 = (0.7)^2 + (-0.2)^2 = 0.49 + 0.04 = 0.53
lt;/li></ul><p>変数$X_1$が最も高い共通性を持ち、因子構造に良く適合していることがわかります。</p><div class='key-point'><h4>考慮事項</h4><ul><li><strong>低い共通性（< 0.2）</strong>：因子分析に不適合な変数</li><li><strong>中程度の共通性（0.2-0.7）</strong>：適度に因子で説明可能</li><li><strong>高い共通性（> 0.7）</strong>：因子構造に良く適合</li><li><strong>過度に高い共通性（> 0.9）</strong>：多重共線性の可能性</li></ul></div>