主成分分析の固有値計算
相関行列の固有値分解
Step 1: 特性方程式の設定
相関行列：
$R = \begin{pmatrix} 1.0 & 0.8 \\ 0.8 & 1.0 \end{pmatrix}$
特性方程式：
$\det(R - \lambda I) = 0$
$\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 0.8 \\ 0.8 & 1-\lambda \end{pmatrix} = 0$
Step 2: 行列式の計算
$(1-\lambda)^2 - (0.8)^2 = 0$
$(1-\lambda)^2 - 0.64 = 0$
$(1-\lambda)^2 = 0.64$
$1-\lambda = \pm 0.8$
Step 3: 固有値の導出
- 第1固有値：$\lambda_1 = 1 + 0.8 = 1.8$
- 第2固有値：$\lambda_2 = 1 - 0.8 = 0.2$
固有値の性質確認
- 非負性：$\lambda_1, \lambda_2 \geq 0$ ✓
- 順序：$\lambda_1 \geq \lambda_2$ ✓
- トレース：$\lambda_1 + \lambda_2 = 1.8 + 0.2 = 2.0 = \text{tr}(R)$ ✓
Step 4: 寄与率の計算
第1主成分の寄与率：
$\text{寄与率}_1 = \frac{\lambda_1}{\sum_{i=1}^{p} \lambda_i} = \frac{\lambda_1}{\text{tr}(R)}$
$= \frac{1.8}{1.8 + 0.2} = \frac{1.8}{2.0} = 0.9 = 90\%$
Step 5: 固有ベクトルの計算
第1固有ベクトル（$\lambda_1 = 1.8$）：
$(R - 1.8I)\mathbf{v}_1 = \mathbf{0}$
$\begin{pmatrix} -0.8 & 0.8 \\ 0.8 & -0.8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_{11} \\ v_{12} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
正規化された固有ベクトル：$\mathbf{v}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$
結果の解釈
- 高い寄与率：90%の分散を1次元で説明
- 強い相関：$r = 0.8$により次元削減効果大
- 第1主成分：$PC_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(X_1 + X_2)$（平均的指標）