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<h4>因子負荷量と共通性の関係</h4><div class='key-point'><h4>共通性の定義</h4></div><p class='step'><strong>Step 1: 因子分析モデルの復習</strong></p><p>因子分析の基本モデル：</p><div class='formula'>$X_i = \lambda_{i1}F_1 + \lambda_{i2}F_2 + \cdots + \lambda_{im}F_m + \epsilon_i$
ここで：
- $\lambda_{ij}$：変数$i$の因子$j$に対する負荷量
- $F_j$：共通因子
- $\epsilon_i$：独自因子
Step 2: 分散の分解
変数$X_i$の分散は以下のように分解される：
$\text{Var}(X_i) = \sum_{j=1}^{m} \lambda_{ij}^2 + \psi_i = h_i^2 + \psi_i$
ここで：
- $h_i^2$：共通性（Communality）
- $\psi_i$：独自性（Uniqueness）
Step 3: 共通性の計算公式
$h_i^2 = \sum_{j=1}^{m} \lambda_{ij}^2$
これは共通因子によって説明される分散の割合
Step 4: 具体的計算
与えられた因子負荷量：
- 第1因子：$\lambda_{i1} = 0.8$
- 第2因子：$\lambda_{i2} = 0.3$
共通性の計算：
$h_i^2 = \lambda_{i1}^2 + \lambda_{i2}^2$
$= (0.8)^2 + (0.3)^2$
$= 0.64 + 0.09 = 0.73$
結果の解釈
| 成分 | 値 | 意味 |
|---|
| 共通性 | $h^2 = 0.73$ | 73%が共通因子で説明 |
| 独自性 | $\psi = 0.27$ | 27%が独自因子（誤差） |
| 第1因子寄与 | $0.64/0.73 = 87.7\%$ | 共通性の大部分 |
Step 5: 因子負荷量の幾何学的解釈
- 相関係数：$\lambda_{ij}$は変数$i$と因子$j$の相関
- ベクトル長：$h_i$は因子空間でのベクトル長</li><li><strong>角度</strong>：因子間の角度は因子相関を表す</li></ul>