多変量解析

主成分分析、因子分析、判別分析、クラスター分析、正準相関分析など、多次元データの解析手法

多次元尺度法（MDS）レベル3

多次元尺度法（MDS）について、正しい記述はどれか。

解説

解答と解説を表示

Step 1: MDSの目的

対象間の距離（非類似度）情報を保持しながら、低次元空間で表現する手法

Step 2: 古典的MDS（主座標分析）

アルゴリズム：

ここで、$\mathbf{D}^{(2)} = (d_{ij}^2)$は距離の2乗行列

Step 3: 内積行列の理論

距離と内積の関係（Young-Householder定理）：

$$d_{ij}^2 = \|\mathbf{x}_i\|^2 + \|\mathbf{x}_j\|^2 - 2\mathbf{x}_i^T\mathbf{x}_j$$

中心化された座標では：

$$b_{ij} = \mathbf{x}_i^T\mathbf{x}_j = -\frac{1}{2}(d_{ij}^2 - d_{i\cdot}^2 - d_{\cdot j}^2 + d_{\cdot\cdot}^2)$$

Step 4: 非計量MDSとストレス関数

Kruskalのストレス関数：

$$\text{Stress} = \sqrt{\frac{\sum_{i\lt j}(d_{ij} - \hat{d}_{ij})^2}{\sum_{i\lt j}d_{ij}^2}}$$

ここで、$\hat{d}_{ij}$は低次元空間での距離

Step 5: 次元数の決定

手法	入力	保持する情報	特徴
PCA	データ行列	分散	線形変換
MDS	距離行列	距離関係	非線形可能
t-SNE	データ行列	局所構造	非線形

実際の応用例