多次元尺度法（MDS） - 多変量解析問題9

多次元尺度法（MDS）レベル1

多次元尺度法（MDS）について、正しい記述はどれか。

解説

解答と解説を表示

<h4>多次元尺度法（MDS）：距離保持による次元削減</h4><div class='key-point'><h4>MDSの基本概念</h4></div>Step 1: MDSの目的対象間の距離（非類似度）情報を保持しながら、低次元空間で表現する手法<ul><li>入力：距離行列$\mathbf{D} = (d_{ij})

lt;/li><li>出力：低次元座標$\mathbf{X} = (x_{ik})

lt;/li><li>制約：距離関係の保持</li></ul>Step 2: 古典的MDS（主座標分析）アルゴリズム：<ol><li>中心化行列の計算：$\mathbf{H} = \mathbf{I} - \frac{1}{n}\mathbf{1}\mathbf{1}^T

lt;/li><li>内積行列の導出：$\mathbf{B} = -\frac{1}{2}\mathbf{H}\mathbf{D}^{(2)}\mathbf{H}

lt;/li><li>固有値分解：$\mathbf{B} = \mathbf{V}\mathbf{\Lambda}\mathbf{V}^T

lt;/li><li>座標の構成：$\mathbf{X} = \mathbf{V}_k\mathbf{\Lambda}_k^{1/2}

lt;/li></ol>ここで、$\mathbf{D}^{(2)} = (d_{ij}^2)$は距離の2乗行列Step 3: 内積行列の理論距離と内積の関係（Young-Householder定理）：<div class='formula'>$d_{ij}^2 = \|\mathbf{x}_i\|^2 + \|\mathbf{x}_j\|^2 - 2\mathbf{x}_i^T\mathbf{x}_j$

中心化された座標では：

$b_{ij} = \mathbf{x}_i^T\mathbf{x}_j = -\frac{1}{2}(d_{ij}^2 - d_{i\cdot}^2 - d_{\cdot j}^2 + d_{\cdot\cdot}^2)$

MDSの種類

種類	特徴	目的関数
古典的MDS	距離の絶対値を保持	固有値分解
非計量MDS	距離の順序のみ保持	ストレス最小化
計量MDS	距離の比例関係保持	重み付きストレス

Step 4: 非計量MDSとストレス関数

Kruskalのストレス関数：

$\text{Stress} = \sqrt{\frac{\sum_{i

ここで、$\hat{d}_{ij}$は低次元空間での距離Step 5: 次元数の決定<ul><li>スクリープロット：固有値の減少パターン</li><li>ストレス値：次元数とストレスの関係</li><li>解釈可能性：2-3次元での可視化</li></ul><div class='key-point'><h4>他の次元削減手法との比較</h4><table class='table table-bordered'><tr><th>手法</th><th>入力</th><th>保持する情報</th><th>特徴</th></tr><tr><td>PCA</td><td>データ行列</td><td>分散</td><td>線形変換</td></tr><tr><td>MDS</td><td>距離行列</td><td>距離関係</td><td>非線形可能</td></tr><tr><td>t-SNE</td><td>データ行列</td><td>局所構造</td><td>非線形</td></tr></table></div>実際の応用例<ul><li>心理学：認知的距離の可視化</li><li>マーケティング：ブランドポジショニング</li><li>生物学：系統樹の構築</li><li>社会学：社会ネットワーク分析</li></ul>