正準相関分析の計算：2次元と1次元の変数群間の関係
正準相関分析の基本原理
正準相関分析は、2つの変数群間の関係を最大化する線形結合を求める手法です。片方の変数群が1次元の場合、問題は回帰分析に類似しますが、両方向の線形結合を考慮する点で異なります。
正準相関係数の計算手順
Step 1: 正準相関分析の数学的定式化
変数群$\mathbf{X}$（2次元）と$\mathbf{Y}$（1次元）の正準相関は以下の一般化固有値問題として定式化されます：
$\mathbf{\Sigma}_{XX}^{-1} \mathbf{\Sigma}_{XY} \mathbf{\Sigma}_{YY}^{-1} \mathbf{\Sigma}_{YX} \mathbf{a} = \rho^2 \mathbf{a}$
ここで、$\rho^2$が固有値、$\rho$が正準相関係数です。
Step 2: 与えられた分散共分散行列の確認
- $\mathbf{X}$群内分散共分散行列：$\mathbf{\Sigma}_{XX} = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$
- $\mathbf{Y}$群内分散共分散行列：$\mathbf{\Sigma}_{YY} = (9)$（スカラー）
- 群間共分散行列：$\mathbf{\Sigma}_{XY} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$
- 転置行列：$\mathbf{\Sigma}_{YX} = \mathbf{\Sigma}_{XY}^T = \begin{pmatrix} 2 & 3 \end{pmatrix}$
Step 3: 各分散共分散行列の逆行列計算
$\mathbf{\Sigma}_{XX}^{-1}$の計算：
$\det(\mathbf{\Sigma}_{XX}) = 4 \times 4 - 2 \times 2 = 16 - 4 = 12$
$\mathbf{\Sigma}_{XX}^{-1} = \frac{1}{12} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/3 & -1/6 \\ -1/6 & 1/3 \end{pmatrix}$
$\mathbf{\Sigma}_{YY}^{-1}$の計算：
$\mathbf{\Sigma}_{YY}^{-1} = 1/9$
Step 4: 合成行列の計算
$\mathbf{A} = \mathbf{\Sigma}_{XX}^{-1} \mathbf{\Sigma}_{XY} \mathbf{\Sigma}_{YY}^{-1} \mathbf{\Sigma}_{YX}$を計算：
中間計算1：$\mathbf{\Sigma}_{XY} \mathbf{\Sigma}_{YY}^{-1} \mathbf{\Sigma}_{YX}$
$\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \times \frac{1}{9} \times \begin{pmatrix} 2 & 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 6 & 9 \end{pmatrix}$
最終計算：$\mathbf{A} = \mathbf{\Sigma}_{XX}^{-1} \times$上記結果
$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1/3 & -1/6 \\ -1/6 & 1/3 \end{pmatrix} \times \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 6 & 9 \end{pmatrix}$
$= \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 4/3 - 1 & 2 - 3/2 \\ -2/3 + 2 & -1 + 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 1/3 & 1/2 \\ 4/3 & 2 \end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix} 1/27 & 1/18 \\ 4/27 & 2/9 \end{pmatrix}$
Step 5: 固有値問題の解
$\mathbf{A}$の固有値を求めるため、特性方程式を立てます：
$\det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) = \det\begin{pmatrix} 1/27 - \lambda & 1/18 \\ 4/27 & 2/9 - \lambda \end{pmatrix} = 0$
$(1/27 - \lambda)(2/9 - \lambda) - (1/18)(4/27) = 0$
$(1/27)(2/9) - \lambda(1/27 + 2/9) + \lambda^2 - 4/486 = 0$
$2/243 - \lambda(1/27 + 6/27) + \lambda^2 - 2/243 = 0$
$\lambda^2 - \frac{7}{27}\lambda = 0$
$\lambda(\lambda - \frac{7}{27}) = 0$
したがって：
- 第1固有値：$\lambda_1 = \frac{7}{27} \approx 0.259$
- 第2固有値：$\lambda_2 = 0$
Step 6: 正準相関係数の算出
正準相関係数は固有値の平方根：
$\rho_1 = \sqrt{\lambda_1} = \sqrt{\frac{7}{27}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{27}} = \frac{\sqrt{7}}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{21}}{9} \approx 0.51$
結果の解釈
| 項目 | 値 | 解釈 |
|---|
| 第1正準相関 | $\rho_1 = 0.51$ | 中程度の正の相関関係 |
| 決定係数 | $\rho_1^2 = 0.29$ | 分散の29%を説明 |
| 第2正準相関 | $\rho_2 = 0$ | 追加の関係なし |
Step 7: 正準ベクトルの意味
第1正準ベクトル$\mathbf{a}_1$は、$\mathbf{X}$群の最適な線形結合の係数を表します。この線形結合$U_1 = \mathbf{a}_1^T \mathbf{X}$と$Y$の間の相関が最大（0.51）になります。
1次元変数群の特徴
- 自由度の制限：$\mathbf{Y}$が1次元のため、正準相関は1つだけ
- 回帰との関係：$\mathbf{X}$から$Y$への重回帰の決定係数に関連
- 解釈の容易さ：$Y$が単一変数なので結果が理解しやすい