<h4>多次元尺度法のストレス：距離保持性能の評価</h4><div class='key-point'><div class='key-point-title'>ストレスの概念</div><p>多次元尺度法（MDS）では、高次元空間の距離情報を低次元空間で再現します。ストレス（Stress）は、この距離保持がどの程度うまくいっているかを測る重要な指標で、MDSの品質評価と次元数決定に使用されます。</p></div><h4>ストレスの定義と計算</h4><p class='step'><strong>Step 1: 基本的なストレス定義</strong></p><p>最も一般的なKruskalのストレス関数：</p><div class='formula'>$\text{Stress} = \sqrt{\frac{\sum_{i\leq j}(d_{ij}-\hat{d}_{ij})^2}{\sum_{i\leq j} d_{ij}^2}}
lt;/div><p>ここで：</p><ul><li>$d_{ij}$：元の高次元空間での距離</li><li>$\hat{d}_{ij}$：低次元空間での再構成された距離</li><li>$i, j$：データ点のインデックス</li></ul><p class='step'><strong>Step 2: ストレスの数学的性質</strong></p><p><strong>範囲：</strong>$0 \leq \text{Stress} \leq 1
lt;/p><p><strong>理想値：</strong></p><ul><li>$\text{Stress} = 0$：完全な距離保持（理想的）</li><li>$\text{Stress} = 1$：最悪の距離保持</li></ul><p><strong>実用的な解釈基準：</strong></p><div class='key-point'><table class='table table-bordered'><tr><th>ストレス値</th><th>品質評価</th><th>解釈</th></tr><tr><td><strong>0.00 - 0.025</strong></td><td>優秀</td><td>ほぼ完璧な適合</td></tr><tr><td><strong>0.025 - 0.05</strong></td><td>良好</td><td>優れた適合、有用</td></tr><tr><td><strong>0.05 - 0.10</strong></td><td>普通</td><td>妥当な適合</td></tr><tr><td><strong>0.10 - 0.20</strong></td><td>不良</td><td>適合に問題あり</td></tr><tr><td><strong>0.20以上</strong></td><td>非常に不良</td><td>使用不適切</td></tr></table></div><p class='step'><strong>Step 3: 様々なストレス関数</strong></p><p><strong>ストレス-1（Kruskalのストレス）：</strong></p><div class='formula'>$\text{Stress-1} = \sqrt{\frac{\sum_{i\leq j} (d_{ij} - \hat{d}_{ij})^2}{\sum_{i\leq j} d_{ij}^2}}
lt;/div><p><strong>ストレス-2（正規化ストレス）：</strong></p><div class='formula'>$\text{Stress-2} = \sqrt{\frac{\sum_{i\leq j} (d_{ij} - \hat{d}_{ij})^2}{\sum_{i\leq j} (d_{ij} - \bar{d})^2}}
lt;/div><p>ここで、$\bar{d}$は距離の平均</p><p><strong>Raw Stress（生ストレス）：</strong></p><div class='formula'>$\text{Raw Stress} = \sum_{i\leq j} (d_{ij} - \hat{d}_{ij})^2
lt;/div><p class='step'><strong>Step 4: 非計量MDSにおけるストレス</strong></p><p>非計量MDS（非線形MDS）では、順序関係のみを保持：</p><div class='formula'>$\text{Stress} = \sqrt{\frac{\sum_{i\leq j} (\hat{d}_{ij} - \tilde{d}_{ij})^2}{\sum_{i\leq j} \hat{d}_{ij}^2}}
lt;/div><p>ここで、$\tilde{d}_{ij}$は単調回帰により求められた値</p><div class='key-point'><h4>単調回帰の役割</h4><p>非計量MDSでは、距離の絶対値ではなく順序関係を保持します。単調回帰（isotonic regression）により、元の距離の順序を保ちながら、低次元空間の距離に最も近い値$\tilde{d}_{ij}$を求めます。</p></div><p class='step'><strong>Step 5: ストレスの最適化</strong></p><p>MDSアルゴリズムはストレス関数を最小化：</p><ol><li><strong>初期配置</strong>：ランダムまたは主成分分析による初期座標</li><li><strong>反復改善</strong>：勾配降下法やSMACOF算法</li><li><strong>収束判定</strong>：ストレス値の変化が閾値以下</li><li><strong>局所最適解対策</strong>：複数の初期値からの実行</li></ol><p class='step'><strong>Step 6: SMACOF算法</strong></p><p>**Scaling by MAjorizing a COmplicated Function**の略：</p><div class='formula'>$X^{(k+1)} = \frac{1}{n} B(X^{(k)}) X^{(k)}
lt;/div><p>ここで、$B$は重み行列、$X$は座標行列</p><p class='step'><strong>Step 7: 次元数の決定</strong></p><p><strong>エルボー法：</strong></p><ul><li>次元数とストレス値をプロット</li><li>ストレスの急激な減少が止まる点を選択</li><li>計算コストと解釈性のバランス</li></ul><p><strong>実例計算：</strong></p><div class='key-point'><table class='table table-bordered'><tr><th>次元数</th><th>ストレス値</th><th>改善度</th></tr><tr><td><strong>1次元</strong></td><td>0.341</td><td>-</td></tr><tr><td><strong>2次元</strong></td><td>0.125</td><td>0.216</td></tr><tr><td><strong>3次元</strong></td><td>0.089</td><td>0.036</td></tr><tr><td><strong>4次元</strong></td><td>0.076</td><td>0.013</td></tr></table></div><p>この例では2次元が適切（大幅な改善後、改善度が小さくなる）</p>