二段階OLSに関する計算問題 - 問題演習問題20

二段階OLSに関する計算問題レベル2

二段階最小二乗法（2SLS）を用いて内生性問題に対処する。以下のデータで処置効果$\beta_1$を推定せよ。\n\n**設定：**\n- 構造方程式：$y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \epsilon_i$\n- 第1段階回帰：$x_i = \gamma_0 + \gamma_1 z_i + v_i$\n- 操作変数$z$は外生変数\n\n**データ（n=5）：**\n\n<table style='border-collapse: collapse; width: 100%; border: 1px solid #ddd;'> <thead> <tr style='background-color: #f9f9f9;'> <th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px; text-align: left;'>i</th> <th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px; text-align: left;'>$y_i{{PROBLEM_STATEMENT}}lt;/th> <th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px; text-align: left;'>$x_i{{PROBLEM_STATEMENT}}lt;/th> <th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px; text-align: left;'>$z_i{{PROBLEM_STATEMENT}}lt;/th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>1</td> <td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>8</td> <td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>3</td> <td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>2</td> </tr> <tr> <td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>2</td> <td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>12</td> <td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>5</td> <td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>4</td> </tr> <tr> <td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>3</td> <td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>10</td> <td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>4</td> <td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>3</td> </tr> <tr> <td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>4</td> <td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>14</td> <td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>6</td> <td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>5</td> </tr> <tr> <td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>5</td> <td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>6</td> <td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>2</td> <td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>1</td> </tr> </tbody> </table>

解説

解答と解説を表示

二段階最小二乗法（2SLS）による内生性問題の解決

2SLSの基本原理

二段階最小二乗法（Two-Stage Least Squares, 2SLS）は、内生性問題が存在する場合に一致推定量を得るための手法です。操作変数を用いて内生変数の外生的変動部分のみを抽出し、因果効果を推定します。

2SLSの理論的基盤

Step 1: 内生性問題の設定

構造方程式：

$y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \epsilon_i$

ここで、$x_i$は内生変数（$E[x_i \epsilon_i] \neq 0$）のため、OLS推定量は一致性を失います。

操作変数$z_i$の条件：

関連性：$\text{Cov}(z_i, x_i) \neq 0$
外生性：$\text{Cov}(z_i, \epsilon_i) = 0$

2SLSの2つの段階

第1段階：内生変数を操作変数で回帰
第2段階：予測値を用いて構造方程式を推定

Step 2: 与えられたデータの整理

観測データ：

観測$i$	$y_i$	$x_i$	$z_i$
1	8	3	2
2	12	5	4
3	10	4	3
4	14	6	5
5	6	2	1

基本統計量の計算：

$\bar{y} = \frac{8+12+10+14+6}{5} = \frac{50}{5} = 10$
$\bar{x} = \frac{3+5+4+6+2}{5} = \frac{20}{5} = 4$
$\bar{z} = \frac{2+4+3+5+1}{5} = \frac{15}{5} = 3$

Step 3: 第1段階回帰の実行

第1段階回帰式：

$x_i = \gamma_0 + \gamma_1 z_i + v_i$

必要な計算：

$\sum z_i^2 = 2^2 + 4^2 + 3^2 + 5^2 + 1^2 = 4 + 16 + 9 + 25 + 1 = 55$
$\sum x_i z_i = 3 \times 2 + 5 \times 4 + 4 \times 3 + 6 \times 5 + 2 \times 1 = 6 + 20 + 12 + 30 + 2 = 70$

第1段階のOLS推定量：

$\hat{\gamma}_1 = \frac{\sum(z_i - \bar{z})(x_i - \bar{x})}{\sum(z_i - \bar{z})^2}$

偏差の計算：

$i$	$z_i - \bar{z}$	$x_i - \bar{x}$	$(z_i - \bar{z})(x_i - \bar{x})$	$(z_i - \bar{z})^2$
1	-1	-1	1	1
2	1	1	1	1
3	0	0	0	0
4	2	2	4	4
5	-2	-2	4	4
合計	0	0	10	10

第1段階の推定値：

$\hat{\gamma}_1 = \frac{10}{10} = 1.0$

$\hat{\gamma}_0 = \bar{x} - \hat{\gamma}_1 \bar{z} = 4 - 1.0 \times 3 = 1.0$

Step 4: 予測値の計算

第1段階の予測式：

$\hat{x}_i = \hat{\gamma}_0 + \hat{\gamma}_1 z_i = 1.0 + 1.0 \times z_i$

各観測の予測値：

$i$	$z_i$	$\hat{x}_i = 1 + z_i$
1	2	3
2	4	5
3	3	4
4	5	6
5	1	2

注：この例では$\hat{x}_i = x_i$となっていますが、これは偶然です。一般的には異なります。

Step 5: 第2段階回帰の実行

第2段階回帰式：

$y_i = \beta_0 + \beta_1 \hat{x}_i + \eta_i$

必要な計算：

$\bar{\hat{x}} = \frac{3+5+4+6+2}{5} = 4$（第1段階の性質により$\bar{\hat{x}} = \bar{x}$）
$\sum \hat{x}_i^2 = 3^2 + 5^2 + 4^2 + 6^2 + 2^2 = 9 + 25 + 16 + 36 + 4 = 90$
$\sum y_i \hat{x}_i = 8 \times 3 + 12 \times 5 + 10 \times 4 + 14 \times 6 + 6 \times 2 = 24 + 60 + 40 + 84 + 12 = 220$

第2段階の偏差計算：

$i$	$y_i - \bar{y}$	$\hat{x}_i - \bar{\hat{x}}$	$(y_i - \bar{y})(\hat{x}_i - \bar{\hat{x}})$	$(\hat{x}_i - \bar{\hat{x}})^2$
1	-2	-1	2	1
2	2	1	2	1
3	0	0	0	0
4	4	2	8	4
5	-4	-2	8	4
合計	0	0	20	10

Step 6: 2SLS推定量の計算

構造パラメータの推定：

$\hat{\beta}_1^{2SLS} = \frac{\sum(y_i - \bar{y})(\hat{x}_i - \bar{\hat{x}})}{\sum(\hat{x}_i - \bar{\hat{x}})^2} = \frac{20}{10} = 2.0$

$\hat{\beta}_0^{2SLS} = \bar{y} - \hat{\beta}_1^{2SLS} \bar{\hat{x}} = 10 - 2.0 \times 4 = 2.0$

Step 7: 結果の検証

操作変数推定量（Wald推定量）による確認：

$\hat{\beta}_1^{IV} = \frac{\text{Cov}(z_i, y_i)}{\text{Cov}(z_i, x_i)}$

共分散の計算：

$\text{Cov}(z_i, y_i) = \frac{1}{n-1}\sum(z_i - \bar{z})(y_i - \bar{y})$
$(z_i - \bar{z})(y_i - \bar{y})$の計算：$(-1)(-2) + (1)(2) + (0)(0) + (2)(4) + (-2)(-4) = 2 + 2 + 0 + 8 + 8 = 20$
$\text{Cov}(z_i, y_i) = \frac{20}{4} = 5$
$\text{Cov}(z_i, x_i) = \frac{10}{4} = 2.5$

$\hat{\beta}_1^{IV} = \frac{5}{2.5} = 2.0$

両方の方法で同じ結果が得られました。

計算結果のまとめ

推定量	値	解釈
$\hat{\beta}_1^{2SLS}$	2	処置効果の2SLS推定値
$\hat{\beta}_0^{2SLS}$	3.32	切片の2SLS推定値
第1段階F統計量	高い	操作変数の強さ

Step 8: 2SLS推定量の統計的性質

一致性：

操作変数条件が満たされれば：

$\text{plim} \, \hat{\beta}_1^{2SLS} = \beta_1$

漸近分布：

$\sqrt{n}(\hat{\beta}_1^{2SLS} - \beta_1) \xrightarrow{d} N(0, \sigma^2_{2SLS})$

Step 9: OLSとの比較

OLS推定量：

$\hat{\beta}_1^{OLS} = \frac{\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum(x_i - \bar{x})^2}$

$(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$の計算：$(-1)(-2) + (1)(2) + (0)(0) + (2)(4) + (-2)(-4) = 20$

$\hat{\beta}_1^{OLS} = \frac{20}{10} = 2.0$

この例では内生性がそれほど深刻でないため、OLSと2SLSの結果が近くなっています。

2SLSの実用的考慮事項

弱操作変数：第1段階のF統計量 > 10が目安
過剰識別：複数の操作変数がある場合の検定
標準誤差：2SLS専用の標準誤差を使用
内生性検定：Wu-Hausman検定による確認

経済学・社会科学での応用例

教育の収益率：義務教育年限変更を操作変数として使用
労働供給：税制改正を操作変数として使用
政策効果：自然実験や制度変更を活用
価格弾力性：供給側ショックを操作変数として使用

多変量解析