この問題では、確率密度関数の正規化の理論と実践について理解を深めます。これは連続確率分布の基礎となる概念で、カスタム分布の構築や統計モデリングにおいて必須です。
確率密度関数の数学的要件
関数$f(x)$が確率密度関数として成立するためには、以下の2つの基本条件を満たす必要があります：
Step 1: 確率密度関数の公理
- 非負性：$f(x) \geq 0$ for all $x$
- 正規化条件：$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$
- 確率解釈：$P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x) dx$
Step 2: 与えられた関数の分析
与えられた関数：
$f(x) = \begin{cases} cx(2-x) & (0 \leq x \leq 2) \\ 0 & (\text{その他}) \end{cases}$
関数の形状分析：
- 定義域：$[0, 2]$に限定された台
- 関数形：$g(x) = x(2-x) = 2x - x^2$の2次関数
- 対称性：$x = 1$に関して対称
- 境界値：$g(0) = g(2) = 0$
Step 3: 積分の詳細計算
正規化条件$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$を適用：
$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = \int_0^2 cx(2-x) dx = c \int_0^2 (2x - x^2) dx = 1$
積分$\int_0^2 (2x - x^2) dx$を計算：
\begin{align}\int_0^2 (2x - x^2) dx &= \left[2 \cdot \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^2 \\&= \left[x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_0^2 \\&= \left(4 - \frac{8}{3}\right) - (0 - 0) \\&= \frac{12 - 8}{3} = \frac{4}{3}\end{align}
Step 4: 正規化定数の決定
正規化条件から：
$c \cdot \frac{4}{3} = 1 \Rightarrow c = \frac{3}{4}$
構築された確率密度関数の性質
$c = \frac{3}{4}$とすると、$f(x) = \frac{3}{4}x(2-x)$となり：
| 性質 | 値 | 説明 |
|---|
| 最大値 | $f(1) = \frac{3}{4}$ | $x = 1$で最頻値 |
| 境界値 | $f(0) = f(2) = 0$ | 端点で連続性保持 |
| 対称性 | $x = 1$軸対称 | ベータ分布類似 |
この分布の特徴と応用
Step 5: 分布の形状と特性
最大値の導出：
$g(x) = x(2-x) = 2x - x^2$の最大値を求めると：
$g'(x) = 2 - 2x = 0 \Rightarrow x = 1$
$g''(x) = -2 < 0 \Rightarrow x = 1$で最大
分布の解釈：
- 台の有界性：$[0, 2]$区間に限定された支持
- 単峰性：$x = 1$を中心とした単一のピーク
- 対称性：平均周りの対称分布
- ベータ分布との関係：ベータ分布$\text{Beta}(2, 2)$を区間$[0, 2]$に変換した形
Step 6: 結果の数値的検証
構築した確率密度関数の妥当性確認：
$\int_0^2 \frac{3}{4}x(2-x) dx = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} = 1 \checkmark$
非負性の確認：
$f(x) = \frac{3}{4}x(2-x) \geq 0 \text{ for } x \in [0, 2] \checkmark$
ポイント：
正規化定数の計算は、カスタム確率分布の構築、ベイズ統計における事後分布の正規化、機械学習における確率モデルの設計など、様々な場面で必要となる基本技術です。この例のような簡単な2次関数でも、実際の問題では複雑な積分計算が必要になることがあります。