この問題では、連続確率変数の期待値計算について理解を深めます。期待値は確率分布の基本的な特性値で、データの中心的傾向を表す指標です。
期待値の理論的基礎
期待値（平均値）は、確率変数が取る値の「重み付き平均」として定義されます。各値に対してその値が出現する確率（連続の場合は確率密度）を重みとして乗じた総和または積分として計算されます。
Step 1: 連続確率変数の期待値定義
確率密度関数$f(x)$を持つ連続確率変数$X$の期待値は：
$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$
この積分は、各点$x$での値に対して、その点での確率密度$f(x)$を重みとして掛け合わせ、全区間で積分したものです。
Step 2: 具体的な確率密度関数の適用
与えられた確率密度関数：
$f(x) = \frac{3}{4}x(2-x), \quad 0 \leq x \leq 2$
この関数は前問で正規化定数を求めたベータ型分布の変形版です。
Step 3: 期待値積分の設定
\begin{align}E[X] &= \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx \\&= \int_0^2 x \cdot \frac{3}{4}x(2-x) dx \\&= \frac{3}{4} \int_0^2 x^2(2-x) dx \\&= \frac{3}{4} \int_0^2 (2x^2 - x^3) dx\end{align}
Step 4: 多項式積分の詳細計算
積分$\int_0^2 (2x^2 - x^3) dx$を項別に計算：
\begin{align}\int_0^2 (2x^2 - x^3) dx &= \int_0^2 2x^2 dx - \int_0^2 x^3 dx \\&= 2 \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 - \left[\frac{x^4}{4}\right]_0^2 \\&= 2 \cdot \frac{8}{3} - \frac{16}{4} \\&= \frac{16}{3} - 4 \\&= \frac{16 - 12}{3} = \frac{4}{3}\end{align}
Step 5: 最終結果の計算
$E[X] = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} = 1.00$
結果の数学的・直感的検証
この結果は複数の観点から妥当性を確認できます：
| 検証方法 | 結果 | 説明 |
|---|
| 対称性 | $x = 1$で対称 | $f(1-t) = f(1+t)$ |
| 境界チェック | $0 < 1 < 2$ | サポート区間内の中央値 |
| 重心概念 | 物理的重心 | 密度関数の質量中心 |
対称性による直感的理解
Step 6: 分布の対称性分析
関数$g(x) = x(2-x)$の性質を詳しく見ると：
- 変換：$t = x - 1$とすると、$g(x) = (1+t)(1-t) = 1 - t^2$
- 対称軸：$x = 1$（または$t = 0$）を中心に完全対称
- 形状：下向きの放物線で、最大値は$x = 1$で取る
この対称性により、期待値は対称軸の位置$x = 1$になります。
応用
Step 7: 期待値の意味と活用
統計的解釈：
- 代表値：この分布に従う確率変数の典型的な値
- 予測値：事前情報なしでの最良推定値
- リスク中立：意思決定における基準点
高次モーメントへの拡張：
この計算手法は、より一般的な$k$次モーメント$E[X^k]$の計算にも適用できます：
$E[X^k] = \int_0^2 x^k \cdot \frac{3}{4}x(2-x) dx = \frac{3}{4} \int_0^2 x^{k+1}(2-x) dx$
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