この問題では、指数分布のモーメント母関数について理解を深めます。モーメント母関数は確率分布の特性を完全に記述する強力な数学的ツールで、分布の同定、モーメントの計算、独立性の証明など多方面で活用されます。
モーメント母関数：分布特性の統一的記述
モーメント母関数（MGF：Moment Generating Function）は、確率分布のすべての情報を含む関数で、19世紀にラプラスによって導入されました。分布の「指紋」とも呼べる特別な役割を持ちます。
Step 1: モーメント母関数の理論的定義
確率変数$X$のモーメント母関数は以下で定義されます：
$$M_X(t) = E[e^{tX}] = \\int_{-\\infty}^{\\infty} e^{tx} f(x) dx$$
ここで：
- $t$：実数パラメータ（収束域内）
- $E[\\cdot]$：期待値演算子
- $f(x)$：確率密度関数
モーメント母関数の重要性
- 分布の一意性：MGFが存在すれば分布を一意に決定
- モーメント生成：$\\frac{d^k}{dt^k}M_X(t)|_{t=0} = E[X^k]$
- 独立性の証明：独立な変数の和のMGFは個別MGFの積
- 収束定理：分布収束の強力な判定法
Step 2: 指数分布の数学的特性
指数分布$\\text{Exp}(\\lambda)$は以下の性質を持ちます：
$$f(x) = \\lambda e^{-\\lambda x}, \\quad x \\geq 0, \\lambda > 0$$
指数分布の特徴：
- メモリレス性：$P(X > s+t | X > s) = P(X > t)$
- 生存解析：故障時間、待ち時間のモデル
- ポアソン過程：事象間の時間間隔
- 最大エントロピー：指定された平均での最大エントロピー分布
Step 3: モーメント母関数の詳細計算
指数分布のMGFを計算します：
\\begin{align}M_X(t) &= E[e^{tX}] \\\\&= \\int_0^{\\infty} e^{tx} \\cdot \\lambda e^{-\\lambda x} dx \\\\&= \\lambda \\int_0^{\\infty} e^{tx} e^{-\\lambda x} dx \\\\&= \\lambda \\int_0^{\\infty} e^{(t-\\lambda)x} dx\\end{align}
Step 4: 収束条件と積分評価
積分$\\int_0^{\\infty} e^{(t-\\lambda)x} dx$が収束するためには：
$$t - \\lambda < 0 \\Rightarrow t < \\lambda$$
この条件下で積分を計算：
\\begin{align}\\lambda \\int_0^{\\infty} e^{(t-\\lambda)x} dx &= \\lambda \\left[\\frac{e^{(t-\\lambda)x}}{t-\\lambda}\\right]_0^{\\infty} \\\\&= \\lambda \\left[\\frac{0 - 1}{t - \\lambda}\\right] \\quad (\\because t < \\lambda) \\\\&= \\lambda \\cdot \\frac{-1}{t - \\lambda} \\\\&= \\frac{\\lambda}{\\lambda - t}\\end{align}
Step 5: 結果の検証と解釈
$$M_X(t) = \\frac{\\lambda}{\\lambda - t}, \\quad t < \\lambda$$
結果の数学的検証
| 検証項目 | 計算 | 結果 |
|---|
| 1次モーメント | $\\frac{d}{dt}M_X(t)|_{t=0}$ | $E[X] = \\frac{1}{\\lambda}$ |
| 2次モーメント | $\\frac{d^2}{dt^2}M_X(t)|_{t=0}$ | $E[X^2] = \\frac{2}{\\lambda^2}$ |
| 分散 | $E[X^2] - (E[X])^2$ | $\\text{Var}(X) = \\frac{1}{\\lambda^2}$ |
実際のモーメント計算例
Step 6: 導関数によるモーメント生成
1次モーメント（期待値）：
\\begin{align}\\frac{d}{dt}M_X(t) &= \\frac{d}{dt}\\left(\\frac{\\lambda}{\\lambda - t}\\right) \\\\&= \\lambda \\cdot \\frac{1}{(\\lambda - t)^2} \\\\\\Rightarrow E[X] &= \\frac{d}{dt}M_X(t)\\Big|_{t=0} = \\frac{\\lambda}{\\lambda^2} = \\frac{1}{\\lambda}\\end{align}
2次モーメント：
\\begin{align}\\frac{d^2}{dt^2}M_X(t) &= \\frac{d}{dt}\\left(\\frac{\\lambda}{(\\lambda - t)^2}\\right) \\\\&= \\frac{2\\lambda}{(\\lambda - t)^3} \\\\\\Rightarrow E[X^2] &= \\frac{d^2}{dt^2}M_X(t)\\Big|_{t=0} = \\frac{2\\lambda}{\\lambda^3} = \\frac{2}{\\lambda^2}\\end{align}