解答と解説を表示
<p>この問題では、<strong>中心極限定理の実用的応用</strong>について理解を深めます。中心極限定理は統計学の定理の一つで、現実のデータ分析や推測統計の理論的基盤を提供します。</p><h4>中心極限定理</h4><p>中心極限定理（Central Limit Theorem, CLT）は、ラプラスによって証明され、統計学を自然科学から独立した数学分野として確立させた定理です。</p><p class='step'><strong>Step 1: 中心極限定理の厳密な定式化</strong></p><p>独立同分布の確率変数列$X_1, X_2, \ldots, X_n$について、$E[X_i] = \mu$、$\text{Var}(X_i) = \sigma^2 < \infty$とするとき：</p><div class='formula'>$\frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0, 1) \quad (n \to \infty)$
すなわち、標本平均$\bar{X}_n$は：
$\bar{X}_n \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right) \quad (\text{近似的, } n \text{が大きいとき})$
中心極限定理の革命的意義
- 分布無依存性：母集団分布の形状に関係なく成立
- 正規性の創発：非正規分布からも正規分布が現れる
- 実用的近似：$n \geq 30$程度で良い近似
- 推測統計の基礎：信頼区間・仮説検定の理論的根拠
Step 2: 問題設定の詳細分析
与えられた母集団パラメータ：
- 母平均：$\mu = 50$
- 母分散：$\sigma^2 = 100$
- 母標準偏差：$\sigma = \sqrt{100} = 10$
- 標本サイズ：$n = 25$
標本平均の分布：
$\bar{X} \sim N\left(50, \frac{100}{25}\right) = N(50, 4)$
標本平均の標準偏差（標準誤差）：
$SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{10}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = 2$
Step 3: 確率計算の詳細プロセス
求める確率：$P(45 \leq \bar{X} \leq 55)$
この区間は$\mu \pm 2.5 \times SE = 50 \pm 2.5 \times 2 = 50 \pm 5$を表しています。
標準化変換：
\begin{align}Z_1 &= \frac{45 - 50}{2} = \frac{-5}{2} = -2.5 \\Z_2 &= \frac{55 - 50}{2} = \frac{5}{2} = 2.5\end{align}
Step 4: 標準正規分布による確率評価
$P(-2.5 \leq Z \leq 2.5)$を計算：
$P(-2.5 \leq Z \leq 2.5) = \Phi(2.5) - \Phi(-2.5)$
標準正規分布表から：
- $\Phi(2.5) = 0.9938$
- $\Phi(-2.5) = 1 - \Phi(2.5) = 1 - 0.9938 = 0.0062$
$P(-2.5 \leq Z \leq 2.5) = 0.9938 - 0.0062 = 0.9876 \approx 0.95$
2.5σルールの意味
この結果は正規分布の性質を示しています：
| 範囲 | 確率 | 実用的意味 |
|---|
| $\mu \pm 1\sigma$ | 68.26% | 約7割のサンプル |
| $\mu \pm 2\sigma$ | 95.44% | 信頼区間の基準 |
| $\mu \pm 2.5\sigma$ | 98.76% | 今回の計算結果 |
| $\mu \pm 3\sigma$ | 99.74% | 6σ品質管理 |
中心極限定理の応用
Step 5: 標本サイズの効果分析
標本サイズが標本平均の精度に与える影響：
$SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \Rightarrow SE \propto \frac{1}{\sqrt{n}}$
例：標本サイズ別の標準誤差
- $n = 1$：$SE = 10$（個別値の標準偏差）
- $n = 25$：$SE = 2$（75%削減）
- $n = 100$：$SE = 1$（90%削減）
- $n = 400$：$SE = 0.5$（95%削減）</li></ul>