確率と確率分布

事象と確率、確率分布の特性値、変数変換、大数の法則、中心極限定理など統計検定準1級レベルの確率論

中心極限定理の応用レベル2

平均50、分散100の母集団から大きさ25の標本を抽出する。標本平均$\bar{X}$が45以上55以下の値をとる確率はおよそいくらか。

解説

解答と解説を表示

この問題では、中心極限定理の実用的応用について理解を深めます。中心極限定理は統計学の定理の一つで、現実のデータ分析や推測統計の理論的基盤を提供します。

中心極限定理（Central Limit Theorem, CLT）は、ラプラスによって証明され、統計学を自然科学から独立した数学分野として確立させた定理です。

Step 1: 中心極限定理の厳密な定式化

独立同分布の確率変数列$X_1, X_2, \ldots, X_n$について、$E[X_i] = \mu$、$\text{Var}(X_i) = \sigma^2 < \infty$とするとき：

$\frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0, 1) \quad (n \to \infty)$

すなわち、標本平均$\bar{X}_n$は：

$\bar{X}_n \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right) \quad (\text{近似的, } n \text{が大きいとき})$

中心極限定理の革命的意義

Step 2: 問題設定の詳細分析

与えられた母集団パラメータ：

標本平均の分布：

$\bar{X} \sim N\left(50, \frac{100}{25}\right) = N(50, 4)$

標本平均の標準偏差（標準誤差）：

$SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{10}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = 2$

Step 3: 確率計算の詳細プロセス

求める確率：$P(45 \leq \bar{X} \leq 55)$

この区間は$\mu \pm 2.5 \times SE = 50 \pm 2.5 \times 2 = 50 \pm 5$を表しています。

標準化変換：

\begin{align}Z_1 &= \frac{45 - 50}{2} = \frac{-5}{2} = -2.5 \\Z_2 &= \frac{55 - 50}{2} = \frac{5}{2} = 2.5\end{align}

Step 4: 標準正規分布による確率評価

$P(-2.5 \leq Z \leq 2.5)$を計算：

$P(-2.5 \leq Z \leq 2.5) = \Phi(2.5) - \Phi(-2.5)$

標準正規分布表から：

$P(-2.5 \leq Z \leq 2.5) = 0.9938 - 0.0062 = 0.9876 \approx 0.95$

2.5σルールの意味

この結果は正規分布の性質を示しています：

Step 5: 標本サイズの効果分析

標本サイズが標本平均の精度に与える影響：

$SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \Rightarrow SE \propto \frac{1}{\sqrt{n}}$

例：標本サイズ別の標準誤差

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