この問題では、ガンマ分布の理論と応用について理解を深めます。ガンマ分布は統計学における汎用性の高い分布族の一つで、待ち時間の分析、信頼性工学、ベイズ統計など幅広い分野で中心的役割を果たしています。
ガンマ分布：柔軟性を持つ連続分布の王者
ガンマ分布は、指数分布の自然な一般化として、様々な現象の持続時間や到着間隔をモデル化する強力なツールとなっています。
Step 1: ガンマ分布の数学的定義
ガンマ分布$\text{Gamma}(\alpha, \beta)$は以下で定義されます：
$f(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}, \quad x > 0$
ここで：
- $\alpha > 0$：形状パラメータ（shape parameter）
- $\beta > 0$：率パラメータ（rate parameter）
- $\Gamma(\alpha) = \int_0^{\infty} t^{\alpha-1}e^{-t}dt$：ガンマ関数
ガンマ分布
| 統計量 | 公式 | 意味 |
|---|
| 期待値 | $E[X] = \frac{\alpha}{\beta}$ | 分布の中心傾向 |
| 分散 | $\text{Var}(X) = \frac{\alpha}{\beta^2}$ | 散らばりの程度 |
| 最頻値 | $\frac{\alpha-1}{\beta}$ ($\alpha > 1$) | 確率密度の最大点 |
| 変動係数 | $\frac{1}{\sqrt{\alpha}}$ | 相対的ばらつき |
Step 2: 問題設定の詳細分析
与えられたパラメータ：$\alpha = 3$、$\beta = 2$
確率密度関数の具体形：
\begin{align}f(x) &= \frac{2^3}{\Gamma(3)}x^{3-1}e^{-2x} \\&= \frac{8}{\Gamma(3)}x^2 e^{-2x} \\&= \frac{8}{2!}x^2 e^{-2x} \quad (\because \Gamma(3) = 2!) \\&= \frac{8}{2}x^2 e^{-2x} \\&= 4x^2 e^{-2x}\end{align}
分布の特性値：
- 期待値：$E[X] = \frac{3}{2} = 1.5$
- 分散：$\text{Var}(X) = \frac{3}{4} = 0.75$
- 標準偏差：$\sigma = \sqrt{0.75} \approx 0.866$
- 最頻値：$\frac{3-1}{2} = 1$
Step 3: 確率計算の戦略
求める確率：$P(X > 1)$
補集合を利用：
$P(X > 1) = 1 - P(X \leq 1) = 1 - \int_0^1 4x^2 e^{-2x} dx$
Step 4: 部分積分による詳細計算
積分$I = \int x^2 e^{-2x} dx$を求めます。
第1回部分積分：
$u = x^2$、$dv = e^{-2x}dx$とすると：
- $du = 2x dx$
- $v = -\frac{1}{2}e^{-2x}$
\begin{align}\int x^2 e^{-2x} dx &= x^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}e^{-2x}\right) - \int 2x \cdot \left(-\frac{1}{2}e^{-2x}\right) dx \\&= -\frac{x^2}{2}e^{-2x} + \int x e^{-2x} dx\end{align}
第2回部分積分：
$\int x e^{-2x} dx$について、$u = x$、$dv = e^{-2x}dx$とすると：
\begin{align}\int x e^{-2x} dx &= x \cdot \left(-\frac{1}{2}e^{-2x}\right) - \int 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}e^{-2x}\right) dx \\&= -\frac{x}{2}e^{-2x} + \frac{1}{2}\int e^{-2x} dx \\&= -\frac{x}{2}e^{-2x} + \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}e^{-2x}\right) \\&= -\frac{x}{2}e^{-2x} - \frac{1}{4}e^{-2x}\end{align}
結果の統合：
\begin{align}\int x^2 e^{-2x} dx &= -\frac{x^2}{2}e^{-2x} + \left(-\frac{x}{2}e^{-2x} - \frac{1}{4}e^{-2x}\right) \\&= -\frac{e^{-2x}}{4}(2x^2 + 2x + 1)\end{align}
Step 5: 定積分の評価
\begin{align}P(X \leq 1) &= 4\int_0^1 x^2 e^{-2x} dx \\&= 4\left[-\frac{e^{-2x}}{4}(2x^2 + 2x + 1)\right]_0^1 \\&= -e^{-2x}(2x^2 + 2x + 1)\Big|_0^1\end{align}
境界値の計算：
- $x = 1$：$-e^{-2}(2 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 + 1) = -5e^{-2}$
- $x = 0$：$-e^0(2 \cdot 0^2 + 2 \cdot 0 + 1) = -1$
\begin{align}P(X \leq 1) &= -5e^{-2} - (-1) \\&= 1 - 5e^{-2}\end{align}
Step 6: 最終結果の計算
\begin{align}P(X > 1) &= 1 - P(X \leq 1) \\&= 1 - (1 - 5e^{-2}) \\&= 5e^{-2} \\&= 5 \times e^{-2} \\&= 5 \times 0.1353 \\&= 0.676675\end{align}
ガンマ分布と関連分布
ガンマ分布は多くの分布の一般化です：
| 特殊ケース | パラメータ | 分布名 |
|---|
| $\alpha = 1$ | 任意の$\beta$ | 指数分布 |
| $\alpha = \frac{k}{2}, \beta = \frac{1}{2}$ | 整数$k$ | カイ二乗分布 |
| $\beta \to \infty$ | 適切なスケーリング | 正規分布（近似） |