この問題では、超幾何分布の基本概念と計算方法について理解を深めます。超幾何分布は有限母集団からの非復元抽出において、特定の属性を持つ個体数の分布を表す確率分布です。
超幾何分布：有限母集団における非復元抽出
超幾何分布は、有限母集団から復元せずに抽出を行う際の成功回数の分布で、品質管理、生物学、選挙予測など実用的な場面で頻繁に使用されます。
Step 1: 問題設定の整理
与えられた条件：
- 母集団サイズ：$N = 20$個
- 不良品数：$K = 4$個
- 良品数：$N - K = 20 - 4 = 16$個
- 抽出サンプル数：$n = 5$個
- 求める確率：不良品がちょうど$k = 1$個の確率
超幾何分布の確率質量関数
確率変数$X$（抜き取り不良品数）は超幾何分布$\\text{Hypergeometric}(N, K, n)$に従い：
$$P(X = k) = \\frac{\\binom{K}{k} \\binom{N-K}{n-k}}{\\binom{N}{n}}$$
ここで：
- $\\binom{K}{k}$：不良品$K$個から$k$個を選ぶ組合せ
- $\\binom{N-K}{n-k}$：良品$(N-K)$個から$(n-k)$個を選ぶ組合せ
- $\\binom{N}{n}$：全体$N$個から$n$個を選ぶ組合せ
Step 2: 各組合せの計算
不良品から1個選ぶ組合せ：
$$\\binom{K}{k} = \\binom{4}{1} = \\frac{4!}{1!(4-1)!} = \\frac{4!}{1! \\cdot 3!} = 4$$
良品から4個選ぶ組合せ：
$$\\binom{N-K}{n-k} = \\binom{16}{4} = \\frac{16!}{4!(16-4)!} = \\frac{16!}{4! \\cdot 12!}$$
分子と分母を計算：
$$\\binom{16}{4} = \\frac{16 \\times 15 \\times 14 \\times 13}{4!} = \\frac{16 \\times 15 \\times 14 \\times 13}{24}$$
分子の計算：
$$\\binom{16}{4} = \\frac{43,680}{24} = 1,820$$
全体から5個選ぶ組合せ：
$$\\binom{N}{n} = \\binom{20}{5} = \\frac{20!}{5!(20-5)!} = \\frac{20!}{5! \\cdot 15!}$$
同様に計算：
$$\\binom{20}{5} = \\frac{20 \\times 19 \\times 18 \\times 17 \\times 16}{5!} = \\frac{20 \\times 19 \\times 18 \\times 17 \\times 16}{120}$$
分子の計算：
$$\\binom{20}{5} = \\frac{1,860,480}{120} = 15,504$$
Step 3: 確率の計算
超幾何分布の確率質量関数に代入：
$$P(X = 1) = \\frac{\\binom{4}{1} \\times \\binom{16}{4}}{\\binom{20}{5}}$$
$$= \\frac{4 \\times 1,820}{15,504} = \\frac{7,280}{15,504}$$
小数に変換：
$$\\frac{7,280}{15,504} = 0.4695... \\approx 0.4696$$
結果の統計的意味
$P(X = 1)$の解釈：
- 確率の意味：約46.96%の確率で不良品が1個抽出される
- 実用的意味：5個中1個が不良品となる確率は約半数
- 品質管理での意味：この確率は抜き取り検査の設計に重要
超幾何分布の理論的背景
Step 5: 統計的性質の確認
期待値の計算：
$$E[X] = n \\times \\frac{K}{N} = 5 \\times \\frac{4}{20} = 5 \\times 0.2 = 1.0$$
分散の計算：
$$\\text{Var}(X) = n \\times \\frac{K}{N} \\times \\frac{N-K}{N} \\times \\frac{N-n}{N-1}$$
$$= 5 \\times \\frac{4}{20} \\times \\frac{16}{20} \\times \\frac{15}{19}$$
$$= 5 \\times 0.2 \\times 0.8 \\times 0.789 = 0.632$$
標準偏差：
$$\\sigma = \\sqrt{0.632} \\approx 0.795$$