この問題では、超幾何分布の基本概念と計算方法について理解を深めます。超幾何分布は有限母集団からの非復元抽出において、特定の属性を持つ個体数の分布を表す確率分布です。
超幾何分布：有限母集団における非復元抽出
超幾何分布は、有限母集団から復元せずに抽出を行う際の成功回数の分布で、品質管理、生物学、選挙予測など実用的な場面で頻繁に使用されます。
Step 1: 問題設定の整理
与えられた条件：
- 母集団サイズ：$N = 20$個
- 不良品数：$K = 4$個
- 良品数：$N - K = 20 - 4 = 16$個
- 抽出サンプル数：$n = 5$個
- 求める確率：不良品がちょうど$k = 1$個の確率
超幾何分布の確率質量関数
確率変数$X$（抜き取り不良品数）は超幾何分布$\text{Hypergeometric}(N, K, n)$に従い：
$P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$
ここで：
- $\binom{K}{k}$：不良品$K$個から$k$個を選ぶ組合せ
- $\binom{N-K}{n-k}$：良品$(N-K)$個から$(n-k)$個を選ぶ組合せ
- $\binom{N}{n}$：全体$N$個から$n$個を選ぶ組合せ
Step 2: 各組合せの計算
不良品から1個選ぶ組合せ：
$\binom{K}{k} = \binom{4}{1} = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1! \cdot 3!} = 4$
良品から4個選ぶ組合せ：
$\binom{N-K}{n-k} = \binom{16}{4} = \frac{16!}{4!(16-4)!} = \frac{16!}{4! \cdot 12!}$
分子と分母を計算：
$\binom{16}{4} = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13}{4!} = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13}{24}$
分子の計算：
$\binom{16}{4} = \frac{43,680}{24} = 1,820$
全体から5個選ぶ組合せ：
$\binom{N}{n} = \binom{20}{5} = \frac{20!}{5!(20-5)!} = \frac{20!}{5! \cdot 15!}$
同様に計算：
$\binom{20}{5} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16}{5!} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16}{120}$
分子の計算：
$\binom{20}{5} = \frac{1,860,480}{120} = 15,504$
Step 3: 確率の計算
超幾何分布の確率質量関数に代入：
$P(X = 1) = \frac{\binom{4}{1} \times \binom{16}{4}}{\binom{20}{5}}$
$= \frac{4 \times 1,820}{15,504} = \frac{7,280}{15,504}$
小数に変換：
$\frac{7,280}{15,504} = 0.4695... \approx 0.4696$
結果の統計的意味
$P(X = 1)$の解釈：
- 確率の意味：約46.96%の確率で不良品が1個抽出される
- 実用的意味：5個中1個が不良品となる確率は約半数
- 品質管理での意味：この確率は抜き取り検査の設計に重要
超幾何分布の理論的背景
Step 5: 統計的性質の確認
期待値の計算：
$E[X] = n \times \frac{K}{N} = 5 \times \frac{4}{20} = 5 \times 0.2 = 1.0$
分散の計算：
$\text{Var}(X) = n \times \frac{K}{N} \times \frac{N-K}{N} \times \frac{N-n}{N-1}$
$= 5 \times \frac{4}{20} \times \frac{16}{20} \times \frac{15}{19}$
$= 5 \times 0.2 \times 0.8 \times 0.789 = 0.632$
標準偏差：
$\sigma = \sqrt{0.632} \approx 0.795$