<p>この問題では、分類問題における手法の一つである<strong>ロジスティック回帰（Logistic Regression）</strong>について理解を深めます。</p><h4>ロジスティック回帰とは？</h4><p>ロジスティック回帰は、目的変数が<strong>二値（0または1）</strong>の場合に使用される回帰手法です。線形回帰とは異なり、確率を直接モデル化するのではなく、<strong>ロジット変換</strong>を用いて線形関係を表現します。</p><h4>ロジスティック回帰モデルの構成</h4><p><strong>1. 確率の定義</strong></p><p>成功確率を$p$とすると、失敗確率は$1-p$です。</p><p><strong>2. オッズ（Odds）</strong></p><p>オッズは成功確率と失敗確率の比で定義されます：</p><div class='formula'>$\text{Odds} = \frac{p}{1-p}
lt;/div><p><strong>3. ロジット変換（Logit Transform）</strong></p><p>オッズの自然対数を取ったものがロジットです：</p><div class='formula'>$\text{Logit}(p) = \log\left(\frac{p}{1-p}\right)
lt;/div><h4>ロジスティック回帰の数学的表現</h4><p>ロジスティック回帰モデルは以下のように表現されます：</p><div class='formula'>$\log\left(\frac{p}{1-p}\right) = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \cdots + \beta_k x_k
lt;/div><p>これを確率$p$について解くと：</p><div class='formula'>$p = \frac{\exp(\beta_0 + \beta_1 x_1 + \cdots + \beta_k x_k)}{1 + \exp(\beta_0 + \beta_1 x_1 + \cdots + \beta_k x_k)}
lt;/div><p>または、シグモイド関数を用いて：</p><div class='formula'>$p = \frac{1}{1 + \exp(-(\beta_0 + \beta_1 x_1 + \cdots + \beta_k x_k))}
lt;/div><div class='key-point'><div class='key-point-title'>ロジスティック回帰の特徴</div><ul><li><strong>確率の範囲</strong>：$0 \leq p \leq 1$が自動的に保証される</li><li><strong>S字曲線</strong>：シグモイド関数により滑らかなS字型の関係を表現</li><li><strong>線形性</strong>：ロジット変換により説明変数との線形関係を仮定</li><li><strong>最尤推定</strong>：パラメータは最尤法により推定される</li></ul></div><h4>問題の解法</h4><p class='step'>1. 与えられたモデルの確認</p><p>ロジスティック回帰モデル：</p><div class='formula'>$\log\left(\frac{p}{1-p}\right) = -2 + 0.5x
lt;/div><p>ここで、$\beta_0 = -2$、$\beta_1 = 0.5$です。</p><p class='step'>2. x = 4におけるロジットの計算</p><p>$x = 4$を代入：</p><div class='formula'>$\log\left(\frac{p}{1-p}\right) = -2 + 0.5 \times 4 = -2 + 2 = 0
lt;/div><p class='step'>3. オッズの計算</p><p>ロジットが0なので：</p><div class='formula'>$\frac{p}{1-p} = \exp(0) = 1
lt;/div><p class='step'>4. 確率の計算</p><p>オッズが1のとき：</p><div class='formula'>$\frac{p}{1-p} = 1 \Rightarrow p = 1-p \Rightarrow 2p = 1 \Rightarrow p = 0.5
lt;/div><h4>結果の解釈</h4><p>$x = 4$のとき成功確率が0.5（50%）であることは以下を意味します：</p><ul><li><strong>境界点</strong>：この点で成功と失敗の確率が等しい</li><li><strong>決定境界</strong>：分類問題では、通常この点を境界として判定を行う</li><li><strong>オッズ比</strong>：$x$が1単位増加すると、オッズが$\exp(0.5) \approx 1.65$倍になる</li></ul><p class='note'><strong>ポイント：</strong><br>ロジスティック回帰では、回帰係数の解釈がオッズ比として行われることが重要です。また、モデルの適合度評価には尤度比検定やAIC、予測精度の評価には混合行列やROC曲線などが使用されます。</p>