効果量に基づくサンプルサイズ設計 - 標本調査法問題2/20

効果量に基づくサンプルサイズ設計レベル2

新しい学習方法の効果を検証するため、従来法（平均点70点、標準偏差10点）と新方法を比較する。新方法で5点以上の改善（効果量d = 0.5）を80%の検出力で検出したい。有意水準$α = 0.05$の両側検定では、各群に最低何人の学生が必要か。人数は両側正規近似による概算とし、必要な人数を切り上げた最小の整数を答えよ。

解説

効果量に基づく検出力分析とサンプルサイズ設計

この問題は、実際に意味のある効果を統計的に検出するために必要な標本サイズを計算する重要な設計問題です。効果量の概念を用いた実践的なアプローチを学習します。

問題設定の整理

従来法：平均70点、標準偏差10点
期待効果：5点以上の改善
効果量：d = 0.5（中程度の効果）
検出力：80%（β = 0.20）
有意水準：α = 0.05（両側検定）

Step 1: 効果量の確認

Cohen's dによる効果量は：

$$d = \frac{\mu_1 - \mu_2}{\sigma}$$

ここで：

$\mu_1 - \mu_2 = 5$点（期待される平均点差）
$\sigma = 10$点（共通の標準偏差）
$d = 5/10 = 0.5$

効果量の解釈（Cohen's基準）

効果量d	解釈	例
0.2	小さな効果	身長の男女差の約20%
0.5	中程度の効果	今回の設定
0.8	大きな効果	明確に識別可能な差

Step 2: 2標本t検定のサンプルサイズ公式

効果量d、有意水準α、検出力(1-β)が与えられたとき、各群の必要標本サイズは：

$$n = \frac{2(Z_{\alpha/2} + Z_\beta)^2}{d^2}$$

ここで：

$Z_{\alpha/2} = Z_{0.025} = 1.96$（両側5%点）
$Z_\beta = Z_{0.20} = 0.84$（検出力80%）
$d = 0.5$（効果量）

Step 3: 数値の代入と計算

$$n = \frac{2(1.96 + 0.84)^2}{(0.5)^2} = \frac{2 \times (2.80)^2}{0.25}$$

$$n = \frac{2 \times 7.84}{0.25} = \frac{15.68}{0.25} = 62.7$$

標本サイズは整数である必要があるため：

$$n \geq 63$$