有限母集団修正による分散計算 - 標本調査法問題3/20

有限母集団修正による分散計算レベル2

従業員500人の会社で、年収の調査を行う。母集団標準偏差σ = 80万円、単純無作為抽出で$n = 100$人を抽出した。標本平均の標準誤差を求めよ。ただし、有限母集団修正を適用すること。単位は万円で、小数第2位まで答えよ（小数第3位を四捨五入すること）。

解説

この問題では、母集団サイズが比較的小さい場合に重要となる有限母集団修正（finite population correction, FPC）を学習します。標本比率が高い場合の精度向上効果を理解できます。

問題設定の整理

Step 1: 有限母集団修正の必要性

一般に、標本比率 n/N が 5%（0.05）以上の場合、有限母集団修正が必要とされます。

$$\frac{n}{N} = \frac{100}{500} = 0.2 = 20\% > 5\%$$

したがって、有限母集団修正が必要です。

Step 2: 無限母集団の場合の標準誤差

通常の（無限母集団を仮定した）標本平均の標準誤差は：

$$SE_{\infty} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{80}{\sqrt{100}} = \frac{80}{10} = 8.0 \text{万円}$$

Step 3: 有限母集団修正係数

有限母集団修正係数（FPC）は：

$$\text{FPC} = \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}$$

数値を代入：

$$\text{FPC} = \sqrt{\frac{500-100}{500-1}} = \sqrt{\frac{400}{499}} = \sqrt{0.8016} = 0.8953$$

Step 4: 修正後の標準誤差

有限母集団修正を適用した標本平均の標準誤差は：

$$SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \times \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}$$

$$SE = 8.0 \times 0.8953 = 7.163 \text{万円}$$

Step 5: 修正効果の評価

有限母集団修正による標準誤差の減少：

$$\text{減少率} = 1 - \frac{SE_{修正}}{SE_{無限}} = 1 - \frac{7.163}{8.0} = 1 - 0.8954 = 0.1046$$

約10.5%の標準誤差減少効果があります。

Step 6: 修正の理論的根拠

有限母集団からの非復元抽出では、抽出の進行とともに選択可能な要素が減少するため、標本間の独立性が完全ではありません。

調査対象	母集団サイズ	推奨標本サイズ	FPC適用
小企業調査	200社	50社	必須
地域住民調査	5,000人	400人	推奨
全国調査	100万人	1,000人	不要

Step 7: 信頼区間への影響

95%信頼区間の半幅比較：

標本比率が小さい場合（n/N < 0.1）の近似：

$$\text{FPC} \approx 1 - \frac{n}{2N}$$

今回の場合：

$$\text{FPC} \approx 1 - \frac{100}{2 \times 500} = 1 - 0.1 = 0.9$$

正確な値0.895と比較すると、標本比率が20%と大きいため近似の精度は限定的です。