標本調査法

サンプルサイズ設計、効果量の計算、推定量の分散制御、層化抽出法、ネイマン配分、比例配分、有限母集団修正、集落抽出、系統抽出、多段抽出など、標本調査の理論と実践

層化抽出における比例配分レベル1

3つの部門（営業300人、技術200人、管理100人）を持つ会社で満足度調査を行う。全体から150人を層化抽出（比例配分）で抽出する場合、各部門から何人ずつ抽出すべきか。営業、技術、管理の順で答えよ。

解説

解答と解説を表示

この問題では、母集団を異質な層（stratum）に分割し、各層から標本を抽出する層化抽出法を学習します。比例配分は各層のサイズに比例して標本を配分する最も基本的な方法です。

問題設定の整理

Step 1: 各層の構成比の計算

各部門の母集団に占める割合：

$W_1 = \frac{N_1}{N} = \frac{300}{600} = 0.5 \text{（50%）}$

$W_2 = \frac{N_2}{N} = \frac{200}{600} = \frac{1}{3} \approx 0.333 \text{（33.3%）}$

$W_3 = \frac{N_3}{N} = \frac{100}{600} = \frac{1}{6} \approx 0.167 \text{（16.7%）}$

Step 2: 比例配分による標本サイズの計算

比例配分では、各層の標本サイズは母集団での構成比に比例します：

$n_h = n \times W_h = n \times \frac{N_h}{N}$

各部門の標本サイズ：

$n_1 = 150 \times \frac{300}{600} = 150 \times 0.5 = 75 \text{人}$

$n_2 = 150 \times \frac{200}{600} = 150 \times \frac{1}{3} = 50 \text{人}$

$n_3 = 150 \times \frac{100}{600} = 150 \times \frac{1}{6} = 25 \text{人}$

Step 3: 結果の確認

$n_1 + n_2 + n_3 = 75 + 50 + 25 = 150$

✓ 目標標本サイズと一致しています。

したがって、各部門からの抽出数は：営業75人、技術50人、管理25人

Step 4: 比例配分の性質

実際の調査では端数が生じる場合があります：

Step 5: 抽出率の計算

各層の抽出率（sampling fraction）：

$f_1 = \frac{n_1}{N_1} = \frac{75}{300} = 0.25 \text{（25%）}$

$f_2 = \frac{n_2}{N_2} = \frac{50}{200} = 0.25 \text{（25%）}$

$f_3 = \frac{n_3}{N_3} = \frac{25}{100} = 0.25 \text{（25%）}$

比例配分では、すべての層で抽出率が等しくなります。

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