層化抽出の標準誤差効率性（基礎） - 問題演習問題7

層化抽出の標準誤差効率性（基礎）レベル1

2つの層（第1層：構成比40%、標準偏差σ₁=10、第2層：構成比60%、標準偏差σ₂=20）からなる母集団で、各層から同じ標本サイズで抽出を行う。各層の標準誤差の違いによる抽出効率を、調和平均と算術平均の関係で評価せよ。調和平均を算術平均で割った値を小数第2位まで答えよ。

解説

解答と解説を表示

この問題では、各層の標準偏差が異なる場合の抽出効率を、調和平均と算術平均の概念を使って理解します。これは層化抽出の効率性を評価する基礎的なアプローチです。

問題設定の整理

Step 1: 標準偏差の算術平均

構成比で重み付けした標準偏差の算術平均：

$\bar{\sigma}_{算術} = W_1 \sigma_1 + W_2 \sigma_2$

$\bar{\sigma}_{算術} = 0.4 \times 10 + 0.6 \times 20 = 4 + 12 = 16$

Step 2: 標準偏差の調和平均

構成比で重み付けした標準偏差の調和平均：

$\bar{\sigma}_{調和} = \frac{1}{\frac{W_1}{\sigma_1} + \frac{W_2}{\sigma_2}}$

分母を計算：

$\frac{W_1}{\sigma_1} + \frac{W_2}{\sigma_2} = \frac{0.4}{10} + \frac{0.6}{20} = 0.04 + 0.03 = 0.07$

調和平均：

$\bar{\sigma}_{調和} = \frac{1}{0.07} = \frac{100}{7} ≈ 14.29$

Step 3: 効率比の計算

調和平均を算術平均で割った値：

$\text{効率比} = \frac{\bar{\sigma}_{調和}}{\bar{\sigma}_{算術}} = \frac{14.29}{16} = 0.893$

小数第2位まで：0.89

一般的に、正の値に対して：

$\text{調和平均} \leq \text{算術平均}$

等号が成り立つのは、すべての値が等しい場合のみです。

Step 4: 結果の統計的意味

効率比0.89は以下を意味します：

この効率比は以下の実務的な意味を持ちます：

Step 5: 理論的背景

この計算の統計的意味：

調査分野	層1の特徴	層2の特徴	期待効率比
所得調査	低所得層（小分散）	高所得層（大分散）	0.7-0.9
企業調査	中小企業（小分散）	大企業（大分散）	0.6-0.8
地域調査	都市部（中分散）	農村部（大分散）	0.8-0.9

Step 6: 改善策の示唆

効率比が1.0より小さい場合の改善方法：

この基礎的な計算により、標準誤差の違いが抽出効率に与える影響を定量的に理解できます。

標本調査法