標本調査法

サンプルサイズ設計、効果量の計算、推定量の分散制御、層化抽出法、ネイマン配分、比例配分、有限母集団修正、集落抽出、系統抽出、多段抽出など、標本調査の理論と実践

集落抽出における設計効果レベル3

30個の集落（各集落20人）からなる母集団（総数600人）で、10個の集落を無作為抽出し、選ばれた集落内の全員を調査する。集落内相関係数ρ = 0.2のとき、設計効果を求めよ。小数第3位まで答えよ。

解説

解答と解説を表示

この問題では、集落抽出による効率の低下を定量化する設計効果（design effect）を計算します。集落内相関は調査効率に大きな影響を与える重要な要因です。

問題設定の整理

Step 1: 設計効果の定義

設計効果（design effect, deff）は、複雑な標本設計の分散と単純無作為抽出の分散の比：

$\text{deff} = \frac{\text{Var}_{complex}}{\text{Var}_{srs}}$

集落抽出の場合、単純無作為抽出よりも一般的に効率が悪化（deff > 1）します。

Step 2: 集落抽出の設計効果公式

均等サイズの集落で全数調査を行う場合：

$\text{deff} = 1 + (m-1)\rho$

ここで：

Step 3: 数値の代入

与えられた値を代入：

$\text{deff} = 1 + (m-1)\rho = 1 + (20-1) \times 0.2$

$\text{deff} = 1 + 19 \times 0.2 = 1 + 3.8 = 4.8$

小数第3位まで：4.800

Step 4: 結果の解釈

deff = 4.8は、集落抽出により分散が単純無作為抽出の4.8倍になることを意味します。

ρ値	設計効果	効率比	実効標本サイズ
0.0	1.0	100%	200人
0.1	2.9	34%	69人
0.2	4.8	21%	42人
0.3	6.7	15%	30人

Step 5: 集落内相関の意味

集落内相関係数ρは以下を表します：

$\rho = \frac{\sigma_b^2}{\sigma_b^2 + \sigma_w^2}$

ここで：

ρ = 0.2は、総分散の20%が集落間の違いによることを意味します。

Step 6: 費用効率性の考慮

集落抽出は効率が悪化しますが、実際の調査では費用効率性を考慮する必要があります：

設計効果を最小化する観点から：

$\text{deff} = 1 + (m-1)\rho$

ρが一定のとき、mが小さいほどdeffは小さくなります。

集落サイズm	deff (ρ=0.2)	必要集落数	総標本数
10	2.8	20	200
20	4.8	10	200
30	6.8	7	210

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