標本調査法

サンプルサイズ設計、効果量の計算、推定量の分散制御、層化抽出法、ネイマン配分、比例配分、有限母集団修正、集落抽出、系統抽出、多段抽出など、標本調査の理論と実践

比推定量による母集団総数の推定レベル2

母集団$N=2000$から標本n=100を単純無作為抽出した。補助変数xの母集団総数を$X=15000$、標本総数を$x=750$とする。目的変数yの標本総数が$y=500$のとき、比推定量による母集団総数Yの推定値を求めよ。

解説

解答と解説を表示

この問題では、補助変数との比を利用して目的変数の母集団総数を効率的に推定する比推定法を学習します。補助情報が利用可能な場合の重要な推定手法です。

問題設定の整理

Step 1: 比推定量の定義

比推定量による母集団総数の推定値は：

$\hat{Y}_R = X \cdot \frac{y}{x} = X \cdot R$

ここで：

Step 2: 標本比の計算

$R = \frac{y}{x} = \frac{500}{750} = \frac{2}{3} = 0.6667$

Step 3: 比推定量の計算

$\hat{Y}_R = X \cdot R = 15000 \times \frac{2}{3} = 15000 \times 0.6667 = 10000$

したがって、比推定量による母集団総数Yの推定値は10000です。

比推定量が有効な条件：

Step 5: 比推定量vs単純推定量の効率性

単純推定量（比推定を使わない場合）：

$\hat{Y}_{simple} = N \cdot \bar{y} = N \cdot \frac{y}{n} = 2000 \times \frac{500}{100} = 2000 \times 5 = 10000$

この場合、偶然両者が一致していますが、一般的には異なります。

比推定量が単純推定量より効率的となる条件：

$\rho_{xy} > \frac{1}{2} \cdot \frac{C_x}{C_y}$

ここで：

Step 6: 現在の標本における指標

標本から計算される値：

標本と母集団でxの平均が一致しているため、この場合は比推定量と単純推定量が同じ値になります。

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