比推定量による母集団総数の推定
この問題では、補助変数との比を利用して目的変数の母集団総数を効率的に推定する比推定法を学習します。補助情報が利用可能な場合の重要な推定手法です。
問題設定の整理
- 母集団サイズ：N = 2000
- 標本サイズ：n = 100
- 補助変数xの母集団総数：X = 15000
- 補助変数xの標本総数：x = 750
- 目的変数yの標本総数：y = 500
Step 1: 比推定量の定義
比推定量による母集団総数の推定値は：
$$\hat{Y}_R = X \cdot \frac{y}{x} = X \cdot R$$
ここで：
- $\hat{Y}_R$：比推定量による母集団総数の推定値
- $X$：補助変数の既知の母集団総数
- $R = \frac{y}{x}$：標本における比
Step 2: 標本比の計算
$$R = \frac{y}{x} = \frac{500}{750} = \frac{2}{3} = 0.6667$$
Step 3: 比推定量の計算
$$\hat{Y}_R = X \cdot R = 15000 \times \frac{2}{3} = 15000 \times 0.6667 = 10000$$
したがって、比推定量による母集団総数Yの推定値は10000です。
比推定量の理論的背景
比推定量が有効な条件：
- 比例関係：yとxの間に強い正の相関
- 原点通過：回帰直線が原点を通る（またはそれに近い）
- 比一定性：y/xの比が母集団内で安定
- 大標本：標本サイズが十分大きい
推定精度の評価
Step 4: 比推定量の分散（理論値）
比推定量の近似分散は：
$$V(\hat{Y}_R) \approx \frac{N^2(1-f)}{n} \cdot \frac{S_y^2 + R^2S_x^2 - 2RS_{xy}}{N-1}$$
ここで：
- $f = \frac{n}{N}$：標本化率
- $S_y^2$、$S_x^2$：yとxの母集団分散
- $S_{xy}$：yとxの母集団共分散
Step 5: 比推定量vs単純推定量の効率性
単純推定量（比推定を使わない場合）：
$$\hat{Y}_{simple} = N \cdot \bar{y} = N \cdot \frac{y}{n} = 2000 \times \frac{500}{100} = 2000 \times 5 = 10000$$
この場合、偶然両者が一致していますが、一般的には異なります。
比推定量の相対効率
比推定量が単純推定量より効率的となる条件：
$$\rho_{xy} > \frac{1}{2} \cdot \frac{C_x}{C_y}$$
ここで：
- $\rho_{xy}$：xとyの相関係数
- $C_x = \frac{S_x}{\bar{X}}$：xの変動係数
- $C_y = \frac{S_y}{\bar{Y}}$：yの変動係数
Step 6: 現在の標本における指標
標本から計算される値：
- xの標本平均：$\bar{x} = \frac{750}{100} = 7.5$
- yの標本平均：$\bar{y} = \frac{500}{100} = 5.0$
- 母集団xの平均：$\bar{X} = \frac{15000}{2000} = 7.5$
- 標本比：$R = \frac{5.0}{7.5} = 0.6667$
標本と母集団でxの平均が一致しているため、この場合は比推定量と単純推定量が同じ値になります。
比推定量の実用性
| 状況 | 適用例 | 効果 |
|---|
| 売上調査 | 従業員数×効率で売上推定 | 高精度 |
| 農業調査 | 面積×収量で総生産推定 | コスト削減 |
| 人口調査 | 世帯数×世帯規模で人口推定 | 迅速性 |
| 在庫調査 | 前年値×成長率で当年推定 | 効率性 |
実際の調査での応用
Step 7: データ収集の工夫
比推定法を効果的に使うための調査設計：
- 補助変数の選択：目的変数と強い相関を持つ変数
- 事前情報の活用：過去の調査や行政データの利用
- 層化との組み合わせ：層別比推定による精度向上
- 多重補助変数：複数の補助情報の統合利用
Step 8: 推定の妥当性チェック
$$\text{相対標準誤差} = \frac{\sqrt{V(\hat{Y}_R)}}{\hat{Y}_R} \times 100\%$$
実用上、相対標準誤差が以下の範囲であることが望ましい：
- 全国レベル：1-3%
- 地域レベル：3-5%
- 小地域レベル：5-10%
比推定量の限界と注意点
- 外れ値感度：極端な比の値が推定に大きく影響
- 非線形関係：完全な比例関係でない場合の誤差
- 小標本問題：標本サイズが小さい場合のバイアス
- 補助情報の質：古い補助情報や不正確な補助情報のリスク
高度な比推定手法
Step 9: 修正比推定量
標本サイズが小さい場合の修正：
$$\hat{Y}_{R,mod} = \frac{X \cdot y + \lambda \cdot \bar{Y}_{prior}}{x + \lambda}$$
ここで、λは事前情報の重みです。
Step 10: 多重比推定
複数の補助変数を使用する場合：
$$\hat{Y}_{MR} = Y_0 \prod_{i=1}^k \left(\frac{X_i}{x_i}\right)^{\alpha_i}$$
ここで、αᵢは各補助変数の重みです。
今回の計算結果の解釈
- 推定値：10000（比推定量・単純推定量共に同値）
- 標本の代表性：補助変数の標本平均が母集団平均と一致
- 推定の安定性：比が2/3で合理的な範囲
- 実用性：補助情報を活用した効率的推定