系統抽出の設計と精度評価
系統抽出は実用的で効率的な抽出方法ですが、母集団に周期性や傾向がある場合の精度評価が重要です。この問題では線形トレンドがある場合の分散計算を行います。
問題設定の整理
- 母集団サイズ：N = 1500
- 抽出間隔：k = 15
- 標本サイズ：n = N/k = 1500/15 = 100
- 線形トレンド：y_i = 10 + 0.02×i + e_i
- 誤差項：互いに独立、平均0、分散4、開始点とも独立
Step 1: 系統抽出の基本原理
系統抽出では、最初の要素をランダムに選び（1からkの間）、その後k間隔で抽出します：
$$\text{抽出される要素} = r, r+k, r+2k, ..., r+(n-1)k$$
ここで、r は 1 ≤ r ≤ k の範囲でランダムに選ばれる開始点です。
Step 2: 線形トレンド下での系統抽出
母集団の値が $y_i = 10 + 0.02 \times i + e_i$ で表される場合：
$$\bar{y}_{sys} = \frac{1}{n} \sum_{j=0}^{n-1} y_{r+jk}$$
$$= \frac{1}{n} \sum_{j=0}^{n-1} [10 + 0.02(r+jk) + e_{r+jk}]$$
$$= 10 + 0.02\left(r + k\frac{n-1}{2}\right) + \frac{1}{n}\sum_{j=0}^{n-1} e_{r+jk}$$
Step 3: 標本平均の期待値
rが1からkまで等確率で選ばれるため：
$$E[\bar{y}_{sys}] = 10 + 0.02\left(\frac{k+1}{2} + k\frac{n-1}{2}\right)$$
$$= 10 + 0.02 \times \frac{k+1 + k(n-1)}{2}$$
$$= 10 + 0.02 \times \frac{k + kn - k + 1}{2} = 10 + 0.02 \times \frac{kn + 1}{2}$$
k = 15, n = 100を代入：
$$E[\bar{y}_{sys}] = 10 + 0.02 \times \frac{1500 + 1}{2} = 10 + 0.02 \times 750.5 = 25.01$$
これは誤差と開始点で期待を取った値である。実現した母集団平均は $25.01+\bar{e}_N$ であり、$E[e_i]=0$ から $\bar{e}_N=0$ とは限らない。
Step 4: 母集団平均
実現した有限母集団の平均は次のとおりです。
$$\bar{y}_N = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} y_i = 10 + 0.02 \times \frac{N+1}{2} + \bar{e}_N$$
$$= 10 + 0.02 \times \frac{1501}{2} + \bar{e}_N = 25.01 + \bar{e}_N$$
$E[e_i]=0$ は各誤差の期待値が 0 という意味であり、実現した $\bar{e}_N$ が 0 であることまでは意味しません。誤差と開始点の両方で期待を取ると $E[\bar{y}_{sys}]=E[\bar{y}_N]=25.01$ なので、標本平均は有限母集団平均の不偏推定量です。
Step 5: 推定誤差の分解
求める量は、誤差と開始点の両方についての推定誤差の分散 $\operatorname{Var}(\bar{y}_{sys}-\bar{y}_N)$ です。開始点を固定した標本平均の分散に、そのまま有限母集団修正を掛ける等式は使いません。
$k=15$、$n=100$ のとき、標本に入る添字のトレンド部分の平均は $r+k(n-1)/2=r+742.5$ なので
$$\bar{y}_{sys} = 24.85 + 0.02r + \bar{e}_{sys}$$
したがって
$$\bar{y}_{sys}-\bar{y}_N = 0.02(r-8)+(\bar{e}_{sys}-\bar{e}_N)$$
$e_i$ は互いに独立で、開始点とも独立です。二つの項は無相関になります。
Step 6: 分散の計算
$$\operatorname{Var}(0.02(r-8)) = 0.02^2\cdot\operatorname{Var}(r) = 0.02^2\frac{15^2-1}{12}$$
$r$ は 1 から 15 まで等確率なので $\operatorname{Var}(r)=(k^2-1)/12$ であり、その平均は 8 です。
$$\operatorname{Var}(\bar{e}_{sys}-\bar{e}_N) = 4\left(\frac{1}{100}-\frac{1}{1500}\right)$$
右辺は $\sigma^2(1/n-1/N)$ です。数値は $(\sigma^2/n)(1-n/N)$ と一致しますが、意味は固定した開始点での標本平均の分散ではありません。標本と母集団が同じ誤差項を共有する差の分散です。
$$\operatorname{Var}(\bar{y}_{sys}-\bar{y}_N) = 0.02^2\frac{15^2-1}{12}+4\left(\frac{1}{100}-\frac{1}{1500}\right) = 0.007466\ldots+0.037333\ldots = 0.0448$$
小数第4位を四捨五入すると 0.045 である。有限母集団平均との差ではなく、標本平均そのものの分散は $\sigma^2/n+0.007466\ldots=0.04747\ldots$ で、別の量である。