標本調査法

サンプルサイズ設計、効果量の計算、推定量の分散制御、層化抽出法、ネイマン配分、比例配分、有限母集団修正、集落抽出、系統抽出、多段抽出など、標本調査の理論と実践

有限母集団修正係数の計算レベル1

母集団サイズ$N=2000$から標本サイズ$n=300$を単純無作為抽出した。有限母集団修正係数を求めよ。小数第3位まで答えよ。

解説

解答と解説を表示

この問題では、母集団サイズが有限の場合に必要となる有限母集団修正係数（finite population correction, FPC）の計算を学習します。統計検定でも頻出の基本的な概念です。

問題設定の整理

Step 1: 有限母集団修正係数の定義

有限母集団修正係数は以下の式で定義されます：

$\text{FPC} = \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}$

この係数は、有限母集団からの非復元抽出において、標本平均の分散を正しく求めるために使用されます。

Step 2: 抽出率の計算

まず、抽出率（sampling fraction）を計算します：

$f = \frac{n}{N} = \frac{300}{2000} = 0.15 = 15\%$

抽出率が高い（一般的に5%以上）場合、有限母集団修正が重要になります。

Step 3: 有限母集団修正係数の計算

定義式に値を代入：

$\text{FPC} = \sqrt{\frac{N-n}{N-1}} = \sqrt{\frac{2000-300}{2000-1}}$

$= \sqrt{\frac{1700}{1999}} = \sqrt{0.8504} = 0.9222$

小数第3位まで：0.922

Step 4: 標本平均の分散への影響

無限母集団の場合の標本平均の分散：

$V(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$

有限母集団の場合（非復元抽出）：

$V(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n} \times \frac{N-n}{N-1}$

つまり、有限母集団修正係数の二乗が分散を調整する因子となります。

Step 5: 修正効果の評価

修正による分散の変化：

$\text{修正効果} = \frac{N-n}{N-1} = \frac{1700}{1999} = 0.8504$

つまり、分散は約85%に減少（精度が向上）します。

抽出率	修正係数	分散倍率	修正の必要性
1%	0.995	0.99	不要
5%	0.975	0.95	考慮推奨
15%	0.922	0.85	必要
30%	0.837	0.70	必須

Step 6: 信頼区間への影響

修正前の標準誤差：

$SE = \frac{s}{\sqrt{n}}$

修正後の標準誤差：

$SE_{修正} = \frac{s}{\sqrt{n}} \times \sqrt{\frac{N-n}{N-1}} = \frac{s}{\sqrt{n}} \times 0.922$

信頼区間の幅は約92%に縮小されます。

Step 7: 具体例での比較

標本標準偏差s = 100とすると：

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