層化抽出におけるネイマン配分
この問題では、層化抽出において分散を最小化する最適配分であるネイマン配分（Neyman allocation）の計算を学習します。統計検定準1級でも重要な概念です。
問題設定の整理
| 層 | 層サイズ(Nₕ) | 標準偏差(σₕ) |
|---|
| 第1層 | 500 | 10 |
| 第2層 | 300 | 20 |
| 第3層 | 200 | 30 |
| 合計 | 1000 | - |
- 総標本サイズ：n = 100
- 目標：ネイマン配分による各層の標本サイズ
Step 1: ネイマン配分の基本原理
ネイマン配分は、総標本サイズが固定された条件下で、層化推定量の分散を最小化する配分方法です。
各層の標本サイズは以下の式で決定されます：
$n_h = n \times \frac{N_h \sigma_h}{\sum_{k=1}^L N_k \sigma_k}$
ここで：
- $n_h$：第h層の標本サイズ
- $N_h$：第h層の母集団サイズ
- $\sigma_h$：第h層の標準偏差
- $L$：層数（今回は3）
Step 2: 各層の重みの計算
まず、各層の $N_h \sigma_h$ を計算します：
- 第1層：$N_1 \sigma_1 = 500 \times 10 = 5000$
- 第2層：$N_2 \sigma_2 = 300 \times 20 = 6000$
- 第3層：$N_3 \sigma_3 = 200 \times 30 = 6000$
Step 3: 総和の計算
$\sum_{k=1}^3 N_k \sigma_k = 5000 + 6000 + 6000 = 17000$
Step 4: 各層の配分比率
各層の配分比率を計算：
- 第1層：$\frac{N_1 \sigma_1}{\sum N_k \sigma_k} = \frac{5000}{17000} = \frac{5}{17} ≈ 0.294$
- 第2層：$\frac{N_2 \sigma_2}{\sum N_k \sigma_k} = \frac{6000}{17000} = \frac{6}{17} ≈ 0.353$
- 第3層：$\frac{N_3 \sigma_3}{\sum N_k \sigma_k} = \frac{6000}{17000} = \frac{6}{17} ≈ 0.353$
配分比率の検証
配分比率の合計：$\frac{5}{17} + \frac{6}{17} + \frac{6}{17} = \frac{17}{17} = 1.0$ ✓
Step 5: 各層の標本サイズ計算
総標本サイズn = 100を各層に配分：
- 第1層：$n_1 = 100 \times \frac{5}{17} = \frac{500}{17} ≈ 29.41 → 29$
- 第2層：$n_2 = 100 \times \frac{6}{17} = \frac{600}{17} ≈ 35.29 → 35$
- 第3層：$n_3 = 100 \times \frac{6}{17} = \frac{600}{17} ≈ 35.29 → 35$
四捨五入後の合計：29 + 35 + 35 = 99
総標本サイズ100と1つ差があるため、最大の配分である第2層または第3層に1を加えます。
$n_1 = 29, \quad n_2 = 35, \quad n_3 = 36$
または均等に分散させて：
$n_1 = 30, \quad n_2 = 35, \quad n_3 = 35$
厳密な計算による確認
より正確な計算：
- $n_1 = \frac{500}{17} = 29.412...$
- $n_2 = \frac{600}{17} = 35.294...$
- $n_3 = \frac{600}{17} = 35.294...$
四捨五入すると：$n_1 = 29, n_2 = 35, n_3 = 35$
合計が99になるため、誤差配分で調整。
ネイマン配分の特徴
Step 6: 配分原理の理解
ネイマン配分では：
- 大きな層：層サイズが大きいほど多く配分
- 分散の大きな層：標準偏差が大きいほど多く配分
- 効率性：分散最小化による最高効率
今回の結果を見ると：
- 第1層：サイズ最大だが分散最小 → 中程度の配分
- 第2・3層：分散が大きいため多めの配分
Step 7: 他の配分方法との比較
| 配分方法 | 第1層 | 第2層 | 第3層 | 特徴 |
|---|
| 比例配分 | 50 | 30 | 20 | 層サイズに比例 |
| 等配分 | 33 | 33 | 34 | 各層に等分 |
| ネイマン配分 | 29 | 35 | 36 | 分散最小化 |
配分効果の比較
ネイマン配分の効果：
- 分散の小さい第1層：比例配分より少なく配分
- 分散の大きい第2・3層：比例配分より多く配分
- 全体効果：層化推定量の分散が最小化
分散の比較計算
Step 8: 層化推定量の分散
層化推定量の分散は：
$V(\bar{y}_{st}) = \sum_{h=1}^L W_h^2 \frac{\sigma_h^2}{n_h}$
ここで、$W_h = \frac{N_h}{N}$ は層の重みです。
Step 9: ネイマン配分の分散計算
層の重み：
- $W_1 = \frac{500}{1000} = 0.5$
- $W_2 = \frac{300}{1000} = 0.3$
- $W_3 = \frac{200}{1000} = 0.2$
ネイマン配分（29, 35, 36）での分散：
$V_{Neyman} = 0.5^2 \times \frac{100}{29} + 0.3^2 \times \frac{400}{35} + 0.2^2 \times \frac{900}{36}$
$= 0.25 \times 3.45 + 0.09 \times 11.43 + 0.04 \times 25.0$
$= 0.863 + 1.029 + 1.000 = 2.892$
比例配分との効率比較
比例配分（50, 30, 20）での分散：
$V_{比例} = 0.25 \times 2.0 + 0.09 \times 13.33 + 0.04 \times 45.0$
$= 0.500 + 1.200 + 1.800 = 3.500$
効率性：$\frac{V_{Neyman}}{V_{比例}} = \frac{2.892}{3.500} = 0.826$
ネイマン配分により分散が約17%削減されます。