層化抽出のネイマン配分 - 標本調査法問題17/20

層化抽出のネイマン配分レベル2

母集団を3つの層に分けて層化抽出を行う。各層のサイズと標準偏差は以下の通り：第1層($N₁=500, σ₁=10$)、第2層($N₂=300, σ₂=20$)、第3層($N₃=200, σ₃=30$)。総標本サイズ$n=100$のときのネイマン配分による第３層の標本サイズを求めよ。小数点以下は四捨五入せよ（各層を四捨五入した値でよく、合計を100に合わせる調整はしなくてよい）。

解説

解答と解説を表示

層化抽出におけるネイマン配分

この問題では、層化抽出において分散を最小化する最適配分であるネイマン配分（Neyman allocation）の計算を学習します。統計検定準1級でも重要な概念です。

問題設定の整理

層	層サイズ(Nₕ)	標準偏差(σₕ)
第1層	500	10
第2層	300	20
第3層	200	30
合計	1000	-

総標本サイズ：n = 100
目標：ネイマン配分による各層の標本サイズ

Step 1: ネイマン配分の基本原理

ネイマン配分は、総標本サイズが固定された条件下で、層化推定量の分散を最小化する配分方法です。

各層の標本サイズは以下の式で決定されます：

$$n_h = n \times \frac{N_h \sigma_h}{\sum_{k=1}^L N_k \sigma_k}$$

ここで：

$n_h$：第h層の標本サイズ
$N_h$：第h層の母集団サイズ
$\sigma_h$：第h層の標準偏差
$L$：層数（今回は3）

Step 2: 各層の重みの計算

まず、各層の $N_h \sigma_h$ を計算します：

第1層：$N_1 \sigma_1 = 500 \times 10 = 5000$
第2層：$N_2 \sigma_2 = 300 \times 20 = 6000$
第3層：$N_3 \sigma_3 = 200 \times 30 = 6000$

Step 3: 総和の計算

$$\sum_{k=1}^3 N_k \sigma_k = 5000 + 6000 + 6000 = 17000$$

Step 4: 各層の配分比率

各層の配分比率を計算：

第1層：$\frac{N_1 \sigma_1}{\sum N_k \sigma_k} = \frac{5000}{17000} = \frac{5}{17} ≈ 0.294$
第2層：$\frac{N_2 \sigma_2}{\sum N_k \sigma_k} = \frac{6000}{17000} = \frac{6}{17} ≈ 0.353$
第3層：$\frac{N_3 \sigma_3}{\sum N_k \sigma_k} = \frac{6000}{17000} = \frac{6}{17} ≈ 0.353$

配分比率の検証

配分比率の合計：$\frac{5}{17} + \frac{6}{17} + \frac{6}{17} = \frac{17}{17} = 1.0$ ✓

Step 5: 第3層の標本サイズ

$$n_3 = 100 \times \frac{6}{17} = \frac{600}{17} = 35.29\ldots$$

小数点以下を四捨五入して、第3層の標本サイズは 35 です。

同様に $n_1 = 500/17 = 29.41\ldots$、$n_2 = 600/17 = 35.29\ldots$ です。

参考：合計を100にそろえる場合

各層を四捨五入すると $(29, 35, 35)$ で合計は99になり、総標本サイズ100に1足りません。実際の調査では、どこか1層に1を加えます。候補を層化推定量の分散 $V = \sum_h W_h^2 \sigma_h^2 / n_h$（Step 8）で比べると：

$(30, 35, 35)$：$V = 0.8333 + 1.0286 + 1.0286 = 2.8905$
$(29, 36, 35)$ または $(29, 35, 36)$：$V = 0.8621 + 1.0000 + 1.0286 = 2.8906$

差はわずかですが、分散が最小になるのは $(30, 35, 35)$ で、小数部分が最も大きい第1層（$29.41$）を切り上げる最大剰余法とも一致します。この調整でも第3層は35のままです。有限母集団修正を含めても、$V$ から配分に依存しない定数 $\sum_h W_h^2 \sigma_h^2 / N_h$ を引くだけなので、最適な整数配分は変わりません。以下の比較では、合計を100にそろえた $(30, 35, 35)$ を使います。

ネイマン配分の特徴

Step 6: 配分原理の理解

ネイマン配分では：

大きな層：層サイズが大きいほど多く配分
分散の大きな層：標準偏差が大きいほど多く配分
効率性：分散最小化による最高効率

今回の結果を見ると：

第1層：サイズ最大だが分散最小 → 中程度の配分
第2・3層：分散が大きいため多めの配分

Step 7: 他の配分方法との比較

配分方法	第1層	第2層	第3層	特徴
比例配分	50	30	20	層サイズに比例
等配分	33	33	34	各層に等分
ネイマン配分	30	35	35	分散最小化

配分効果の比較

ネイマン配分の効果：

分散の小さい第1層：比例配分より少なく配分
分散の大きい第2・3層：比例配分より多く配分
全体効果：層化推定量の分散が最小化

分散の比較計算

Step 8: 層化推定量の分散

層化推定量の分散は：

$$V(\bar{y}_{st}) = \sum_{h=1}^L W_h^2 \frac{\sigma_h^2}{n_h}$$

ここで、$W_h = \frac{N_h}{N}$ は層の重みです。

Step 9: ネイマン配分の分散計算

層の重み：

$W_1 = \frac{500}{1000} = 0.5$
$W_2 = \frac{300}{1000} = 0.3$
$W_3 = \frac{200}{1000} = 0.2$

ネイマン配分（30, 35, 35）での分散（有限母集団修正は無視）：

$$V_{Neyman} = 0.5^2 \times \frac{100}{30} + 0.3^2 \times \frac{400}{35} + 0.2^2 \times \frac{900}{35}$$

$$= 0.25 \times 3.333 + 0.09 \times 11.43 + 0.04 \times 25.71$$

$$= 0.833 + 1.029 + 1.029 = 2.890$$

比例配分との効率比較

比例配分（50, 30, 20）での分散：

$$V_{比例} = 0.25 \times 2.0 + 0.09 \times 13.33 + 0.04 \times 45.0$$

$$= 0.500 + 1.200 + 1.800 = 3.500$$

効率性：$\frac{V_{Neyman}}{V_{比例}} = \frac{2.890}{3.500} = 0.826$

ネイマン配分により分散が約17%削減されます。