標本調査法

サンプルサイズ設計、効果量の計算、推定量の分散制御、層化抽出法、ネイマン配分、比例配分、有限母集団修正、集落抽出、系統抽出、多段抽出など、標本調査の理論と実践

系統抽出の抽出間隔レベル1

母集団サイズ$N=3600$から標本サイズ$n=120$を系統抽出で行う。第1要素を7番目とした場合、抽出される3番目の要素の番号を求めよ。

解説

解答と解説を表示

この問題では、系統抽出（systematic sampling）の基本的な仕組みである抽出間隔の計算と、具体的な抽出要素の決定方法を学習します。統計検定準1級でも基本的な内容です。

問題設定の整理

Step 1: 系統抽出の基本原理

系統抽出では、母集団を順番に並べて一定間隔で要素を抽出します：

Step 2: 抽出間隔の計算

$k = \frac{N}{n} = \frac{3600}{120} = 30$

したがって、抽出間隔は30です。

Step 3: 抽出される要素の決定

第1要素が7番目と決まっているので、抽出される要素は：

したがって、2番目の要素は37、3番目の要素は67です。

開始点をrとすると、抽出される要素は：

$x_i = r + (i-1) \times k$

ここで、i = 1, 2, ..., n

今回の場合：r = 7, k = 30なので

Step 4: 系統抽出の利点

Step 5: 系統抽出の注意点

今回の系統抽出で選ばれる全120個の要素：

Step 6: 最後の要素の確認

最後の要素（第120要素）：

$x_{120} = 7 + (120-1) \times 30 = 7 + 119 \times 30 = 7 + 3570 = 3577$

これが母集団サイズ3600以下であることを確認：3577 ≤ 3600 ✓

Step 7: 系統抽出の分散

系統抽出の分散は一般に：

$V(\bar{y}_{sys}) = \frac{1}{k^2} \sum_{i=1}^k V_i$

ここで、$V_i$はi番目の系統標本の分散です。

Step 8: 単純無作為抽出との比較

効率性の比較：

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