確率過程

マルコフ連鎖、ポアソン過程、ブラウン運動、マルチンゲールなど統計検定準1級レベルの確率過程理論

ブラウン運動の基本性質レベル1

標準ブラウン運動$B(t)$について、$\text{Var}[B(3) - B(1)]$の値はいくらか。

解説

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この問題では、ブラウン運動の分散構造と統計的性質について理解を深めます。ブラウン運動は1827年にロバート・ブラウンが花粉の粒子運動を観察したことに由来し、後にアインシュタインとウィーナーによって数学的に定式化された、現代確率論の中心的概念です。

ブラウン運動（ウィーナー過程とも呼ばれる）は、連続時間確率過程の「最も基本的で重要な」例であり、金融工学、物理学、生物学における拡散現象の数学的モデルとして広く使用されています。

Step 1: ブラウン運動の厳密な公理系

標準ブラウン運動$\{B(t), t \geq 0\}$は、以下の4つの公理を満たす確率過程です：

ブラウン運動の基本公理

初期条件：$B(0) = 0$（確定的初期値）
独立増分性：任意の$0 \leq t_1 < t_2 \leq t_3 < t_4$に対して、$B(t_2) - B(t_1)$と$B(t_4) - B(t_3)$は独立
正規増分性：任意の$0 \leq s < t$に対して、$B(t) - B(s) \sim N(0, t-s)$
標本路連続性：$t \mapsto B(t)$は連続関数（確率1で）

公理の数学的意味：

Step 2: 増分の分布の詳細分析

求める増分：$B(3) - B(1)$

公理3により：

$B(3) - B(1) \sim N(0, 3-1) = N(0, 2)$

この結果の解釈：

Step 3: 分散計算の理論的基礎

正規分布$N(\mu, \sigma^2)$の分散は$\sigma^2$であるため：

$\text{Var}[B(3) - B(1)] = 2$

これは、ブラウン運動の基本的性質「時間に比例する分散」の直接的帰結です。

ブラウン運動の共分散構造

統計量	公式	物理的意味
平均	$E[B(t)] = 0$	ドリフトなし運動
分散	$\text{Var}[B(t)] = t$	拡散の線形成長
共分散	$\text{Cov}[B(s), B(t)] = \min(s,t)$	時間的相関の減衰
相関係数	$\text{Corr}[B(s), B(t)] = \sqrt{\frac{\min(s,t)}{\max(s,t)}}$	時間差による相関減少

Step 4: スケーリング性質と自己相似性

ブラウン運動は自己相似性（self-similarity）を持ちます：

$\{B(ct)\}_{t \geq 0} \stackrel{d}{=} \{\sqrt{c}B(t)\}_{t \geq 0}$

これは「時間軸を$c$倍に拡大すると、空間軸は$\sqrt{c}$倍に拡大される」ことを意味します。このフラクタル的性質により、ブラウン運動は「スケール不変」な現象のモデルとなります。

Step 5: マルチンゲール性とマルコフ性

マルチンゲール性：

$E[B(t) | \mathcal{F}_s] = B(s) \quad (t > s)$

これは「現在の値が将来の期待値である」ことを意味し、公正なゲームの数学的表現です。

強マルコフ性：

任意の停止時刻$\tau$に対して、$\{B(\tau + t) - B(\tau)\}_{t \geq 0}$は$B(\tau)$に独立な標準ブラウン運動です。これは「どの時点で観測を再開しても、新しいブラウン運動が始まる」ことを意味します。

Step 6: 微分可能性と変分

ブラウン運動は「どこでも連続だが、どこでも微分不可能」という驚くべき性質を持ちます：

2次変分の有限性：

$\langle B \rangle_t = \lim_{\|\Pi\| \to 0} \sum_{i} (B(t_{i+1}) - B(t_i))^2 = t$

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