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<p>この問題では、<strong>ブラウン運動の分散構造と統計的性質</strong>について理解を深めます。ブラウン運動は1827年にロバート・ブラウンが花粉の粒子運動を観察したことに由来し、後にアインシュタインとウィーナーによって数学的に定式化された、現代確率論の中心的概念です。</p><h4>ブラウン運動：連続時間の究極的ランダム過程</h4><p>ブラウン運動（ウィーナー過程とも呼ばれる）は、連続時間確率過程の「最も基本的で重要な」例であり、金融工学、物理学、生物学における拡散現象の数学的モデルとして広く使用されています。</p><p class='step'><strong>Step 1: ブラウン運動の厳密な公理系</strong></p><p>標準ブラウン運動$\{B(t), t \geq 0\}$は、以下の4つの公理を満たす確率過程です：</p><div class='key-point'><div class='key-point-title'>ブラウン運動の基本公理</div><ol><li><strong>初期条件</strong>：$B(0) = 0$（確定的初期値）</li><li><strong>独立増分性</strong>：任意の$0 \leq t_1 < t_2 \leq t_3 < t_4$に対して、$B(t_2) - B(t_1)$と$B(t_4) - B(t_3)$は独立</li><li><strong>正規増分性</strong>：任意の$0 \leq s < t$に対して、$B(t) - B(s) \sim N(0, t-s)
lt;/li><li><strong>標本路連続性</strong>：$t \mapsto B(t)$は連続関数（確率1で）</li></ol></div><p><strong>公理の数学的意味：</strong></p><ul><li><strong>第2公理（独立増分）</strong>：過去と未来の変化が統計的に無関係</li><li><strong>第3公理（正規性）</strong>：中心極限定理の極限としての性質</li><li><strong>第4公理（連続性）</strong>：物理的な粒子の軌道の連続性を反映</li></ul><p class='step'><strong>Step 2: 増分の分布の詳細分析</strong></p><p>求める増分：$B(3) - B(1)
lt;/p><p>公理3により：</p><div class='formula'>$B(3) - B(1) \sim N(0, 3-1) = N(0, 2)$
この結果の解釈：
- 平均：$E[B(3) - B(1)] = 0$（ドリフトなし）
- 分散：$\text{Var}[B(3) - B(1)] = 2$（時間差に比例）
- 標準偏差：$\sqrt{2} \approx 1.414$
Step 3: 分散計算の理論的基礎
正規分布$N(\mu, \sigma^2)$の分散は$\sigma^2$であるため：
$\text{Var}[B(3) - B(1)] = 2$
これは、ブラウン運動の基本的性質「時間に比例する分散」の直接的帰結です。
ブラウン運動の共分散構造
| 統計量 | 公式 | 物理的意味 |
|---|
| 平均 | $E[B(t)] = 0$ | ドリフトなし運動 |
| 分散 | $\text{Var}[B(t)] = t$ | 拡散の線形成長 |
| 共分散 | $\text{Cov}[B(s), B(t)] = \min(s,t)$ | 時間的相関の減衰 |
| 相関係数 | $\text{Corr}[B(s), B(t)] = \sqrt{\frac{\min(s,t)}{\max(s,t)}}$ | 時間差による相関減少 |
ブラウン運動の深い数学的性質
Step 4: スケーリング性質と自己相似性
ブラウン運動は自己相似性（self-similarity）を持ちます：
$\{B(ct)\}_{t \geq 0} \stackrel{d}{=} \{\sqrt{c}B(t)\}_{t \geq 0}$
これは「時間軸を$c$倍に拡大すると、空間軸は$\sqrt{c}$倍に拡大される」ことを意味します。このフラクタル的性質により、ブラウン運動は「スケール不変」な現象のモデルとなります。
Step 5: マルチンゲール性とマルコフ性
マルチンゲール性：
$E[B(t) | \mathcal{F}_s] = B(s) \quad (t > s)$
これは「現在の値が将来の期待値である」ことを意味し、公正なゲームの数学的表現です。
強マルコフ性：
任意の停止時刻$\tau$に対して、$\{B(\tau + t) - B(\tau)\}_{t \geq 0}$は$B(\tau)$に独立な標準ブラウン運動です。これは「どの時点で観測を再開しても、新しいブラウン運動が始まる」ことを意味します。
Step 6: 微分可能性と変分
ブラウン運動は「どこでも連続だが、どこでも微分不可能」という驚くべき性質を持ちます：
- 連続性：$P(\text{標本路が連続}) = 1$
- 非微分可能性：$P(\text{標本路がどこかで微分可能}) = 0$
- 無限変分：任意の区間での変分（経路長）は無限大
2次変分の有限性：
$\langle B \rangle_t = \lim_{\|\Pi\| \to 0} \sum_{i} (B(t_{i+1}) - B(t_i))^2 = t$</div>