<h4>時系列解析の基礎：定常性の理論と実践</h4><div class='key-point'><div class='key-point-title'>定常性</div><p>定常性は時系列解析において最も基本的な概念です。多くの時系列モデル（ARIMA、GARCH等）は定常性を前提としており、非定常時系列に対しては適切な前処理が必要となります。</p></div><h4>定常性の数学的定義</h4><p class='step'><strong>Step 1: 強定常性</strong></p><p>時系列$\{X_t\}$が強定常性を満たすとは、任意の時点$t_1, t_2, \ldots, t_k$と任意のラグ$h$に対して：</p><div class='formula'>$F(x_1, x_2, \ldots, x_k; t_1, t_2, \ldots, t_k) = F(x_1, x_2, \ldots, x_k; t_1+h, t_2+h, \ldots, t_k+h)
lt;/div><p>すなわち、同時分布が時間シフトに対して不変であることを意味します。</p><p class='step'><strong>Step 2: 弱定常性（2次定常性）</strong></p><p>実際の分析では、より緩い条件である弱定常性が用いられます：</p><div class='key-point'><div class='key-point-title'>弱定常性の3条件</div><ol><li><strong>平均の時間不変性</strong>：$E[X_t] = \mu$ （定数）</li><li><strong>分散の時間不変性</strong>：$\text{Var}(X_t) = \sigma^2$ （定数）</li><li><strong>自己共分散の時間不変性</strong>：$\text{Cov}(X_t, X_{t+h}) = \gamma(h)$ （ラグ$h$のみに依存）</li></ol></div><h4>非定常性のパターンと識別</h4><p class='step'><strong>Step 3: 主要な非定常性のタイプ</strong></p><table style='width:100%; border-collapse: collapse; margin: 1em 0;'><tr style='background-color: #f5f5f5;'><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>非定常性のタイプ</th><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>特徴</th><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>対処法</th></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'><strong>トレンド</strong></td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>平均が時間とともに変化</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>差分、トレンド除去</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'><strong>季節性</strong></td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>周期的な変動パターン</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>季節差分、季節調整</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'><strong>分散変化</strong></td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>ボラティリティの時間変化</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>対数変換、GARCH</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'><strong>構造変化</strong></td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>統計的性質の急激な変化</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>構造変化検定、分割分析</td></tr></table><h4>定常性の検定手法</h4><p class='step'><strong>Step 4: 統計的検定による定常性の判定</strong></p><div class='key-point'><div class='key-point-title'>主要な定常性検定</div><ul><li><strong>Augmented Dickey-Fuller (ADF) 検定</strong><ul><li>帰無仮説：単位根が存在（非定常）</li><li>対立仮説：定常</li><li>検定統計量：$\tau = \frac{\hat{\gamma}}{SE(\hat{\gamma})}
lt;/li></ul></li><li><strong>KPSS検定</strong><ul><li>帰無仮説：定常</li><li>対立仮説：単位根が存在</li><li>ADF検定と補完的に使用</li></ul></li><li><strong>Phillips-Perron検定</strong><ul><li>系列相関に対してより頑健</li><li>ノンパラメトリック補正</li></ul></li></ul></div><h4>定常化の実践的手法</h4><p class='step'><strong>Step 5: データ変換による定常化</strong></p><p><strong>1. 差分変換</strong></p><div class='formula'>$\nabla X_t = X_t - X_{t-1} \quad \text{（1次差分）}
lt;/div><div class='formula'>$\nabla^2 X_t = \nabla X_t - \nabla X_{t-1} \quad \text{（2次差分）}
lt;/div><p><strong>2. 季節差分</strong></p><div class='formula'>$\nabla_s X_t = X_t - X_{t-s} \quad \text{（季節ラグ$s$での差分）}
lt;/div><p><strong>3. 対数変換</strong></p><div class='formula'>$Y_t = \log X_t \quad \text{（分散安定化）}
lt;/div><p><strong>4. Box-Cox変換</strong></p><div class='formula'>$Y_t = \begin{cases} \frac{X_t^\lambda - 1}{\lambda} & \text{if } \lambda \neq 0 \\ \log X_t & \text{if } \lambda = 0 \end{cases}
lt;/div><h4>定常性と時系列モデリング</h4><p class='step'><strong>Step 6: モデル選択への影響</strong></p><ul><li><strong>定常時系列</strong>：AR、MA、ARMAモデルが適用可能</li><li><strong>非定常時系列</strong>：ARIMAモデル、共和分分析が必要</li><li><strong>季節性あり</strong>：SARIMAモデル、状態空間モデル</li><li><strong>分散変化</strong>：GARCHファミリーモデル</li></ul><div class='key-point'><div class='key-point-title'>定常性判定の手順</div><ol><li><strong>視覚的確認</strong>：時系列プロット、ACF/PACFプロット</li><li><strong>記述統計</strong>：移動平均・移動分散の計算</li><li><strong>統計的検定</strong>：ADF検定、KPSS検定の実施</li><li><strong>変換の適用</strong>：必要に応じて差分・対数変換</li><li><strong>再検定</strong>：変換後の定常性確認</li></ol></div><p>したがって、正解は<strong>「平均、分散、自己共分散が時間に依存しない性質」</strong>です。これは弱定常性の定義そのものであり、時系列解析の基礎となる概念です。</p>