時系列解析の基礎：定常性の理論と実践
定常性
定常性は時系列解析において最も基本的な概念です。多くの時系列モデル（ARIMA、GARCH等）は定常性を前提としており、非定常時系列に対しては適切な前処理が必要となります。
定常性の数学的定義
Step 1: 強定常性
時系列$\{X_t\}$が強定常性を満たすとは、任意の時点$t_1, t_2, \ldots, t_k$と任意のラグ$h$に対して：
$F(x_1, x_2, \ldots, x_k; t_1, t_2, \ldots, t_k) = F(x_1, x_2, \ldots, x_k; t_1+h, t_2+h, \ldots, t_k+h)$
すなわち、同時分布が時間シフトに対して不変であることを意味します。
Step 2: 弱定常性（2次定常性）
実際の分析では、より緩い条件である弱定常性が用いられます：
弱定常性の3条件
- 平均の時間不変性：$E[X_t] = \mu$ （定数）
- 分散の時間不変性：$\text{Var}(X_t) = \sigma^2$ （定数）
- 自己共分散の時間不変性：$\text{Cov}(X_t, X_{t+h}) = \gamma(h)$ （ラグ$h$のみに依存）
非定常性のパターンと識別
Step 3: 主要な非定常性のタイプ
| 非定常性のタイプ | 特徴 | 対処法 |
|---|
| トレンド | 平均が時間とともに変化 | 差分、トレンド除去 |
| 季節性 | 周期的な変動パターン | 季節差分、季節調整 |
| 分散変化 | ボラティリティの時間変化 | 対数変換、GARCH |
| 構造変化 | 統計的性質の急激な変化 | 構造変化検定、分割分析 |
定常性の検定手法
Step 4: 統計的検定による定常性の判定
主要な定常性検定
- Augmented Dickey-Fuller (ADF) 検定
- 帰無仮説：単位根が存在（非定常）
- 対立仮説：定常
- 検定統計量：$\tau = \frac{\hat{\gamma}}{SE(\hat{\gamma})}$
- KPSS検定
- 帰無仮説：定常
- 対立仮説：単位根が存在
- ADF検定と補完的に使用
- Phillips-Perron検定
定常化の手法
Step 5: データ変換による定常化
1. 差分変換
$\nabla X_t = X_t - X_{t-1} \quad \text{（1次差分）}$
$\nabla^2 X_t = \nabla X_t - \nabla X_{t-1} \quad \text{（2次差分）}$
2. 季節差分
$\nabla_s X_t = X_t - X_{t-s} \quad \text{（季節ラグ$s$での差分）}$
3. 対数変換
$Y_t = \log X_t \quad \text{（分散安定化）}$
4. Box-Cox変換
$Y_t = \begin{cases} \frac{X_t^\lambda - 1}{\lambda} & \text{if } \lambda \neq 0 \\ \log X_t & \text{if } \lambda = 0 \end{cases}$
定常性と時系列モデリング
Step 6: モデル選択への影響
- 定常時系列：AR、MA、ARMAモデルが適用可能
- 非定常時系列：ARIMAモデル、共和分分析が必要
- 季節性あり：SARIMAモデル、状態空間モデル
- 分散変化：GARCHファミリーモデル
定常性判定の手順
- 視覚的確認：時系列プロット、ACF/PACFプロット
- 記述統計：移動平均・移動分散の計算
- 統計的検定：ADF検定、KPSS検定の実施
- 変換の適用：必要に応じて差分・対数変換
- 再検定：変換後の定常性確認
したがって、正解は「平均、分散、自己共分散が時間に依存しない性質」です。これは弱定常性の定義そのものであり、時系列解析の基礎となる概念です。