<h4>自己回帰モデル（AR）の定常性理論</h4><div class='key-point'><div class='key-point-title'>ARモデル</div><p>自己回帰（AR）モデルは時系列解析の基本的なモデルの一つで、現在の値が過去の値の線形結合で表現されます。金融、経済、工学など幅広い分野で応用されています。</p></div><h4>AR(2)モデルの数学的構造</h4><p class='step'><strong>Step 1: AR(2)モデルの定義</strong></p><p>AR(2)モデルは以下のように定義されます：</p><div class='formula'>$X_t = \phi_1 X_{t-1} + \phi_2 X_{t-2} + \epsilon_t
lt;/div><p>ここで：</p><ul><li>$\phi_1, \phi_2$：自己回帰係数</li><li>$\epsilon_t \sim \text{WN}(0, \sigma^2)$：ホワイトノイズ</li><li>$E[\epsilon_t \epsilon_s] = 0$ for $t \neq s
lt;/li></ul><h4>特性方程式と定常性条件</h4><p class='step'><strong>Step 2: 特性方程式の導出</strong></p><p>AR(2)モデルをラグ演算子$L$を用いて表現すると：</p><div class='formula'>$(1 - \phi_1 L - \phi_2 L^2)X_t = \epsilon_t
lt;/div><p>特性方程式は：</p><div class='formula'>$1 - \phi_1 z - \phi_2 z^2 = 0
lt;/div><p>または</p><div class='formula'>$\phi_2 z^2 + \phi_1 z - 1 = 0
lt;/div><p class='step'><strong>Step 3: 定常性の必要十分条件</strong></p><div class='key-point'><div class='key-point-title'>定常性条件</div><p>AR(2)モデルが定常となる必要十分条件は、特性方程式の根がすべて単位円の外側にあることです。</p><p>数学的には、特性方程式の根を$z_1, z_2$とすると：</p><div class='formula'>$|z_1| > 1 \quad \text{かつ} \quad |z_2| > 1
lt;/div></div><h4>具体的な定常性条件</h4><p class='step'><strong>Step 4: パラメータ空間での条件</strong></p><p>特性方程式の根が単位円外にある条件は、以下の3つの不等式で表現されます：</p><div class='formula'>$\begin{cases}\phi_1 + \phi_2 < 1 \\\phi_2 - \phi_1 < 1 \\|\phi_2| < 1\end{cases}
lt;/div><p><strong>幾何学的解釈：</strong></p><p>これらの条件は$\phi_1$-$\phi_2$平面上で三角形の領域を形成します：</p><ul><li>頂点：$(1, 0)$、$(-1, 0)$、$(0, 1)
lt;/li><li>この三角形内部のパラメータで定常性が保証される</li></ul><table style='width:100%; border-collapse: collapse; margin: 1em 0;'><tr style='background-color: #f5f5f5;'><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>条件</th><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>意味</th><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>境界での挙動</th></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$\phi_1 + \phi_2 = 1
lt;/td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>単位根の存在</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>ランダムウォーク</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$\phi_2 - \phi_1 = 1
lt;/td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>負の単位根</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>交互変動</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$|\phi_2| = 1
lt;/td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>複素単位根</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>周期的変動</td></tr></table><h4>特性根の性質と時系列の挙動</h4><p class='step'><strong>Step 5: 根の種類による分類</strong></p><p><strong>1. 実根の場合</strong></p><p>判別式$D = \phi_1^2 + 4\phi_2 \geq 0$のとき：</p><div class='formula'>$z_{1,2} = \frac{\phi_1 \pm \sqrt{\phi_1^2 + 4\phi_2}}{2\phi_2}
lt;/div><ul><li>両根が正：単調な収束/発散</li><li>一方が負：振動を伴う収束/発散</li></ul><p><strong>2. 複素根の場合</strong></p><p>判別式$D = \phi_1^2 + 4\phi_2 < 0$のとき：</p><div class='formula'>$z_{1,2} = \frac{\phi_1 \pm i\sqrt{4\phi_2 - \phi_1^2}}{2\phi_2}
lt;/div><ul><li>周期的な振動パターン</li><li>周期：$T = \frac{2\pi}{\arccos(\phi_1/(2\sqrt{-\phi_2}))}
lt;/li></ul><h4>一般化：AR(p)モデルの定常性</h4><p class='step'><strong>Step 6: 高次ARモデルへの拡張</strong></p><p>一般的なAR(p)モデル：</p><div class='formula'>$X_t = \phi_1 X_{t-1} + \phi_2 X_{t-2} + \cdots + \phi_p X_{t-p} + \epsilon_t
lt;/div><p>特性方程式：</p><div class='formula'>$1 - \phi_1 z - \phi_2 z^2 - \cdots - \phi_p z^p = 0
lt;/div><div class='key-point'><div class='key-point-title'>一般的な定常性条件</div><p>AR(p)モデルが定常となる必要十分条件は、特性方程式のすべての根が単位円の外側にあることです。これは以下と等価です：</p><ul><li>特性多項式$\phi(z) = 1 - \phi_1 z - \cdots - \phi_p z^p$について</li><li>$|z| \leq 1$の範囲で$\phi(z) \neq 0
lt;/li></ul></div>