AR(2)モデルの無条件分散：Yule-Walker方程式による解法
ARモデルの分散計算
自己回帰モデルの無条件分散は、モデルの定常性を前提として、Yule-Walker方程式系を解くことで求められます。この計算は、時系列の長期的な変動の大きさを理解する上で重要です。
AR(2)モデルの基本設定
Step 1: モデルの確認と定常性条件
与えられたAR(2)モデル：
$X_t = 0.5X_{t-1} + 0.3X_{t-2} + \varepsilon_t$
ここで：
- $\phi_1 = 0.5$、$\phi_2 = 0.3$：自己回帰係数
- $\varepsilon_t \sim WN(0, 4)$：ホワイトノイズ（分散4）
定常性の確認：
AR(2)モデルの定常性条件：
$\begin{cases}\phi_1 + \phi_2 < 1 \\\phi_2 - \phi_1 < 1 \\|\phi_2| < 1\end{cases}$
数値確認：
- $0.5 + 0.3 = 0.8 < 1$ ✓
- $0.3 - 0.5 = -0.2 < 1$ ✓
- $|0.3| = 0.3 < 1$ ✓
すべての条件を満たすため、このモデルは定常です。
Yule-Walker方程式の導出
Step 2: 自己共分散関数の設定
定常性の下で、自己共分散関数$\gamma(h) = \text{Cov}(X_t, X_{t-h})$を定義します。
AR(2)モデルより：
$X_t = \phi_1 X_{t-1} + \phi_2 X_{t-2} + \varepsilon_t$
両辺に$X_{t-h}$を乗じて期待値を取ると：
$E[X_t X_{t-h}] = \phi_1 E[X_{t-1} X_{t-h}] + \phi_2 E[X_{t-2} X_{t-h}] + E[\varepsilon_t X_{t-h}]$
Step 3: ラグ別方程式の構築
ラグ0（分散）の場合：$h = 0$
$\gamma(0) = \phi_1 \gamma(1) + \phi_2 \gamma(2) + \sigma^2$
ここで、$E[\varepsilon_t X_t] = E[\varepsilon_t(\phi_1 X_{t-1} + \phi_2 X_{t-2} + \varepsilon_t)] = \sigma^2$
ラグ1の場合：$h = 1$
$\gamma(1) = \phi_1 \gamma(0) + \phi_2 \gamma(1)$
ここで、$E[\varepsilon_t X_{t-1}] = 0$（ホワイトノイズの性質）
ラグ2の場合：$h = 2$
$\gamma(2) = \phi_1 \gamma(1) + \phi_2 \gamma(0)$
Yule-Walker方程式系の解法
Step 4: 連立方程式の整理
3つの方程式：
$\begin{cases}\gamma(0) = 0.5\gamma(1) + 0.3\gamma(2) + 4 \\\gamma(1) = 0.5\gamma(0) + 0.3\gamma(1) \\\gamma(2) = 0.5\gamma(1) + 0.3\gamma(0)\end{cases}$
第2式から$\gamma(1)$を求める：
$\gamma(1) - 0.3\gamma(1) = 0.5\gamma(0)$
$0.7\gamma(1) = 0.5\gamma(0)$
$\gamma(1) = \frac{0.5}{0.7}\gamma(0) = \frac{5}{7}\gamma(0)$
第3式から$\gamma(2)$を求める：
$\gamma(2) = 0.5 \cdot \frac{5}{7}\gamma(0) + 0.3\gamma(0)$
$\gamma(2) = \frac{25}{70}\gamma(0) + \frac{21}{70}\gamma(0) = \frac{46}{70}\gamma(0) = \frac{23}{35}\gamma(0)$
Step 5: 無条件分散の計算
第1式に代入：
$\gamma(0) = 0.5 \cdot \frac{5}{7}\gamma(0) + 0.3 \cdot \frac{23}{35}\gamma(0) + 4$
$\gamma(0) = \frac{25}{70}\gamma(0) + \frac{69}{350}\gamma(0) + 4$
通分して計算：
$\gamma(0) = \frac{125}{350}\gamma(0) + \frac{69}{350}\gamma(0) + 4$
$\gamma(0) = \frac{194}{350}\gamma(0) + 4$
$\gamma(0) - \frac{194}{350}\gamma(0) = 4$
$\frac{350-194}{350}\gamma(0) = 4$
$\frac{156}{350}\gamma(0) = 4$
$\gamma(0) = 4 \cdot \frac{350}{156} = \frac{1400}{156} = \frac{350}{39} \approx 8.97$
計算の検証
Step 6: 代替計算法による確認
行列形式による解法：
Yule-Walker方程式を行列形式で表現：
$\begin{pmatrix}1 & -\phi_1 & -\phi_2 \\-\phi_1 & 1 & -\phi_1 \\-\phi_2 & -\phi_1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\gamma(0) \\\gamma(1) \\\gamma(2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\sigma^2 \\0 \\0\end{pmatrix}$
数値代入：
$\begin{pmatrix}1 & -0.5 & -0.3 \\-0.5 & 1 & -0.5 \\-0.3 & -0.5 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\gamma(0) \\\gamma(1) \\\gamma(2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 \\0 \\0\end{pmatrix}$
公式
AR(2)モデルの無条件分散の一般公式：
$\text{Var}(X_t) = \frac{\sigma^2(1-\phi_2)}{(1+\phi_2)((1-\phi_2)^2-(\phi_1)^2)}$
数値代入：
$\text{Var}(X_t) = \frac{4(1-0.3)}{(1+0.3)((1-0.3)^2-(0.5)^2)} = \frac{4 \times 0.7}{1.3(0.49-0.25)} = \frac{2.8}{1.3 \times 0.24} = \frac{2.8}{0.312} \approx 8.97$
結果の解釈
Step 7: 経済的・統計的解釈
求められた無条件分散$\text{Var}(X_t) \approx 8.97$は以下を意味します：
- 変動の増幅：ノイズの分散（4）より大きく、自己回帰構造により変動が増幅
- 持続性の効果：過去の値への依存により、ショックの効果が持続
- 長期均衡：定常状態での時系列の典型的な変動幅
分散増幅率：
$\text{増幅率} = \frac{\text{Var}(X_t)}{\sigma^2} = \frac{8.97}{4} \approx 2.24$
関連する統計的性質
Step 8: 自己相関構造
計算された分散から、自己相関関数も求められます：
$\rho(1) = \frac{\gamma(1)}{\gamma(0)} = \frac{5}{7} \approx 0.714$
$\rho(2) = \frac{\gamma(2)}{\gamma(0)} = \frac{23}{35} \approx 0.657$
これらの値は、AR(2)モデルの記憶の強さを示しています。